2차원에서의 홀(Hall) 저항
인간은 영원히 아름다운 것을 추구하는 욕구가 있다. 마치 예술가가 완벽한 미를 추구하는 것처럼, 물리학자 역시 같은 소망을 가지고 자연을 탐구해 왔다. 여러 소립자들은 이런 동기에서 발견된 좋은 예이다. 그러나 분수 양자 홀효과의 발견은 순수 학문이 꼭 그런 동기에 의해서만 발전되지는 않는다는 것을 보여 주는 좋은 예이다. 좀 더 효율적이고 빠른 차세대 트랜지스터(transitor)를 개발하려는 실용적 동기에 의해 만들어진 미세한 반도체 구조에서 이런 희귀한 자연 현상이 일어 날 수 있다는 것은 아무도 예측 못했었다. R. B. Laughlin, H. L. Strmer와 D. C. Tsui는 분수 양자 홀효과의 업적으로 올해 노벨물리학상 수상자로 선정되었다. (Laughlin은 1996년에 아시아 태평양 이론물리센터의 개소기념학회에 참석차 내한한 바 있다.)
차세대 저차원 반도체물리는 이론과 실험의 유기적인 연계 속에 최근 비약적인 발전을 했다. 반도체소자의 크기가 작아지고 집적도가 높아짐에 따라 자연에 존재하지 않는 새로운 양자효과들이 인간들이 만든 양자소자에서 발견되고 있다. 양자우물이라는 소자는 두 개의 반도체를 샌드위치 시켜 전자들이 평면 위에서만 움직이게 한다. 불순물이 없을 때 전자의 슈뢰딩거 방정식을 이 평면에서 풀어보면 고유에너지가 불연속적인 값을 갖는다는 것을 알 수 있다. 그리고 각 에너지 상태는 졸들어 있는데 졸들기(degeneracy) 값은 평면을 통과하는 자기선속계수와 같다. 전자의 개수에 졸들기 값을 나눈 양을 채움인수(filling factor)라 정의한다. 전자들 사이의 평균거리는 드브로이 파장과 비슷하여 전자들은 양자유체를 형성한다. 보통의 저차원 반도체들은 매우 깨끗하나, 불순물이 필연적으로 어느 정도 존재한다. 그래서 전자들은 쿨롱 상호작용에만 영향받지 않고 불순물의 무질서한 퍼텐셜에도 영향을 받는다. 분수 양자 홀효과는 이 채움인수가 분수 값을 가질 때 일어날 수 있는 현상이다.
양자 홀 효과 실험에서는 먼저 전류를 반도체 소자에 흐르게 한다. 그러면 로렌츠힘 때문에 전자들이 시료의 한쪽 가장자리로 이동해 이 전류의 수직 방향으로 전압차가 유도된다(그림 1). 이것을 홀 효과라 하며 홀 저항은 유도된 이 전압차
를 전류로 나눈 양이다. D. C. Tsui, H. L. Strmer와 A. C. Gossard는 채움인수가 1/3일 때 놀랍게도 홀 저항이 h/e2의 3 배가 되며 보통 저항 값이 0이 된다는 것을 발견했다 (e와 h는 자연의 가장 기본적인 상수들인 전자의 전하와 Planck 상수이다). 다시 말하면 시료의 불순물과는 관계없는 매우 정확하고 보편적인 값을 갖게 되는 것이다. 이 현상은 반도체의 저항값이 불순물의 성질과 밀접한 관계를 갖는다는 보통의 예상과 완전히 빗나가는 결과이다.
이 이후 분수 양자 홀 효과가 다른 분수 값도 가질 수 있다는 것이 밝혀졌고 도체와 절연체 사이의 상전이 현상이란 것도 실험적으로 규명됐다. 그림 2는 홀 저항과 보통저항을 자기장의 함수로 측정한 결과를 보여준다. 자기장의 폭이 유한한데서 홀 저항이 일정한 값을 갖는 곳이 여러 군데 있는데이런 곳을 프라토 (plateau)라 부른다. 채움인수 값이 분수값
애니온
R. B. Laughlin은 이 실험 결과를 이해하기 위해 새로운 기초이론을 창안해냈다. Laughlin 이론의 핵심은 쿨롱 상호작용 때문에 전자사이에 특이한 상관관계가 형성된다는 것이다 (그림 3).
그래서 새로운 들뜬 입자가 존재하는데, 전하량은 기본 전하량 e보다 작은 분수값인 e/3값을 가지며 페르미온(fermion) 도 아니고 보존(boson)도 아닌 애니온(anyon)이다 (그림 4). 이 입자는 자연에서는 발견 못했으나 인공적으로 만든 2차원 평면에 수직으로 자기장을 걸면 존재할 수 있다.
홀 저항이 h/e2의 3배가 된다는 것은 가로전도도(transverse conductivity)가 h/e2에 분수 1/3을 곱한 것임을 의미한다. 들뜬
입자의 전하량이 e/3인 것과 가로전도도가 e2/3h인 것은 밀접한 관계가 있다. 아래 그림에서와 같이 무한히 가는 솔레노이드 안에
자기선속 값이 천천히 증가하여 기본 양자선속 값에 도달하는 과정을 생각해 보자 (그림 5). Faraday 법칙을 적용해보면 유도 전
기장 Et가 원호의 접선방향으로 생김을 알 수 있다. 이때 가로전도도가 e2/3h 값을 가지므로 반지름 방향으로 전류가 흐르게 된
다. 이 전류를 시간에 대하여 적분하여 원호를 지나간 총전하량을 구하면 그것이 바로 분수 전하량 e/3이 된다는 것을 알 수 있
다. 다시 말하면 가로전도도가 e2/3h의 값을 안 가지면 애니온의 전하량이 e/h의 값을 가질 수 없다는 것이다.
도체-절연체 상전이
전하를 갖는 입자는 자기장과 전기장이 공존할 때 그림 6(a)와 같이 사이클로이드(cycloid) 경로를 그리며 움직인다(자기장은 지면에서 수직하게 나오고 전기장은 위쪽을 가리키고 있다). 불순물 퍼텐셜이 있는 경우 전기장의 방향은 등고선에 수직인 방향과 일치하며 따라서 전자의 사이클로이드 궤도는 등고선을 따라 움직이게 된다(그림 6(b)).
그러면 왜 근접한 두 프라토가 계단처럼 불연속적으로 연결되는지 이해해 보자(그림 7(a)). 채움인수가 1/3에 해당되는 자기장 값에서는 들뜬 애니온이 존재하지 않는다. 이 자기장 값보다 조금 작은 값에서는 애니온들이 존재할 수 있는데 페르미 준위(Fermi level)에 해당하는 등퍼텐셜까지 채워져 있다. 즉 불순물 퍼텐셜의 여러 웅덩이에 애니온들이 분리되어 감금되어 있다(그림 7(b)와 7(c)). 이 때는 전류가 흐르지 못하여 전자 양자 유체는 절연체가 된다. 자기장 값이 더 작아지면 이 웅덩이들이 점점 더 커져서 어느 순간 갑자기 연결된다 (그림 7(d)). 다시 말하면 시료의 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 이 웅덩이들로 연결되어 갑자기 전류가 흐를 수 있게된다. 이 때는 도체가 되는 것이다. 이 지점에 바로 계단이 존재하게 된다. 즉 유도된 홀 전압이 갑자기 변한다. 자기장 값이 채움인수가 1/3에 해당되는 값에서 유한히 많이 변해야만 이 임계점에 도달할 수 있다. 현재 물리학자들은 이 상전이 현상의 임계지수 값이 모든 프라토에서 같은 보편적인 값을 갖는다고 믿고 있다.
전 망
애니온의 실용적 가치는 아직 미지수로 남아 있지만 분수 양자 홀효과는 물리학에 새로운 지평을 연 것은 분명하다. 분수 양자 홀효과를 나타내는 액체는 지금까지 보지 못한 물질상태이며, 여러 가지 깊고, 아름답고, 새로운 물리적 개념으로만 이해될 수 있다. 그러나 새로운 실험결과가 지속적으로 발견되고 있는데도 아직까지 많은 부분이 이론적으로 이해되지 않고 있다. 도체-절연체 상전이의 정량적인 이해는 아직 숙제로 남아 있다. 그리고 최근 채움인수가 1/2일 때 새로운 도체가 형성되는데 이 양자 유체는 지금까지 보지 못한 여러 가지 희귀한 성질을 가지고 있다. 이 유체는 양자 홀효과를 보이지 않는 새로운 도체 상태이며 강한 자기장에도 불구하고 자기장이 없을 때의 도체의 성질과 유사한 성질을 갖고 있다. 어떻게 전자의 상호작용이 이것을 가능하게 하는지 아직 깊은 이해는 하지 못하고 있는 실정이다. 앞으로도 흥미 있는 개념들이 나올 것이 확실하며 젊은 물리학자들의 활약이 기대된다. 분수 양자 홀 효과의 업적은 세익스피어의 작품과 같이 전 인류의 아름다운 지적 재산이며, 인간정신의 위대함을 보여주는 이정표가 될 것이다.
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양승열 교수는 University of California, San Diego에서 고체물리 박사 학위를 취득한 후, University of Maryland 박사후 연구원, National Research Council of Canada에서 Research Scientist, Max Planck Institute, Stuttgart 방문과학자, Indiana 대학교 방문과학자, 서울대학교 이론 물리센터 방문과학자를 역임했다. 현재는 고려대학교 이과대학 물리학과 부교수로 재직 중이며, 아태이론물리센타 학술연구위원으로 활동하고 있다.
(beyang@venus.korea.ac.kr)
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