본 기고에서는 최근 비선형동력학의 범주에서 활발히 연구되고 있는 비평형 문양 형성 문제에 대한 배경 및 과학적인 이슈들을 설명하고, 이와 밀접한 연관성이 있는 특정한 생명현상을 소개하고자 한다. 비평형 문양형성과 관련되어 여기서 제시된 과학적 이슈들은 보다 일반적인 맥락에서, 복잡계(complexity system)에 대한 일반적이고 보편적인 과학적 이해의 출발점이 되리라 기대된다. 최근, 과학전문지 Science는 특별 이슈를 편찬하여 복잡성의 과학과 연계된 다양한 예제를 여러 과학 분야에 걸쳐 소개하여 관심을 끈 바 있다.[1] 본인의 기고는 비선형-비평형계에서 나타나는 문양형성의 관점에서 이를 의논하고자 한다.
저차원 비선형계
근대 과학의 시작이래 물리학자들은 관계된 계에 내재된 대칭성을 찾는데 주력하여 해석적인 분석이 용이한 단순 선형모델계를 구현해 왔고, 이 모델계를 이해하는데 대부분의 투자를 하였다. 혹시 계에 비선형성이 내재되어 있으면, 관계된 문제는 다양한 섭동이론들로 다루어졌다. 이 섭동이론들은 극히 제한된 영역에서 단순화된 선형계에 대한 부분적인 보정 효과를 주는데 유용한 방법이었을 뿐, 비선형계에서 나타나는 많은 현상들은 선형계에 대한 단편적인 보정으로 이해될 수 없었다. 대표적인 경우가 혼돈현상이다.[2] 지난 20여 년간 과학계 뿐만 아니라 대중매체를 통하여 일반인들에게도 많이 회자되었던 이 현상은 보다 정확하게 저차원 혼돈현상을 의미한다. 즉, 관계된 계의 상태변수가 몇 안 되는 '단순한' 저차원 계에서 나타나는 불규칙적인 그리고 미래상태에 대한 예측이 불가능한 동적인 상태를 일컫는다.
저차원 혼돈현상의 발견이 과학적으로 획기적인 '사건'이었던 것은, 고전적인(newtonian) 역학계에서도 미래 상태에 대한 불확실성이 존재한다는 사실이다. 그리고 이 불확정성은 관계된 계의 상태변수가 많아서가 아니라, 계를 기술하는 방정식에 비선형성이 내재하기 때문이다.
열역학적으로 열린상태의 비평형계는 본질적으로 비선형계이다. 최근 정립된 저차원 비선형동력학은 혼돈현상을 포함해 다양한 비선형-비평형 현상들의 이해에 기본이 된다. 이 학문의 중요성은 무엇보다도 이 학문이 갖는 보편성(universality)에 있다. 즉, 여러 다른 비선형계에서 나타나는 동력학을 관계된 계의 특정성에 무관하게 그리고 보편적으로 기술할 수 있다는 점이다. 이 보편성은 상전이 현상에서 나타나는 보편성과 매우 유사한 개념이며, 보편성의 존재는 근본적으로 관계된 계가 비선형-비평형계라는 사실에 기인한다. 즉, 비선형-비평형 계의 미래 상태는 위상공간에서 fixed point, period n-cycle, quasi-periodic torus, 그리고 strange attractor와 같은 소수 특정한 형태의 끌개(attractor)들로 귀결된다 (그림 1). 비선형동력학은 주어진 계의 위상공간에서 나타나는 끌개들을 밝히고, 매개변수의 변이에 따라 순차적으로 나타나는 끌개들의 분기(bifurcation) 과정, 특정한 끌개의 분기과정을 보편적으로 기술하는 normal form 방정식들, 그리고 분기과정에서 보이는 보편적인 scaling 법칙을 functional renormalization 이론으로 규명해, 관계된 계의 동력학적 특성을 규명한다.
비선형-비평형 다체계와 문양형성
자유도(degrees of freedom)가 유한한 비평형 계를 대상으로 정립된 기존의 비선형동력학은 최근 자유도가 무한한 비선형-비평형 다체계의 이해라는 새로운 국면을 맞고 있다.[3] 자연의 많은 현상들은 여러 개의 역학적인 소자들의 상호작용에 근거해 일어나며, 이들의 상호작용은 여러 형태의 문양(pattern)으로 나타난다. 우주 갤럭시의 나선 문양과 같은 거시적인 예로부터 고체 격자구조와 같은 미시적인 예가 있고, 하나의 length scale만 갖는 단순한 격자구조로부터 다양한 length scale을 갖는 막흐름(turbulence)의 부정형 구조가 있다. 우리들은 이러한 문양들을 접하면서 의문을 갖는다. 주어진 계에서 어떠한 형태의 문양들이 나올 수 있으며, 나타나는 문양들의 형성원리는 무엇인가? 문양들은 어떠한 수식으로 기술되며, 그 결과는 어떠한 동적 양상을 가질 수 있는가? 주어진 여건의 변화에 따라서 문양들은 어떠한 변이를 갖는가? 그리고 어떠한 종류의 문양들이 주류를 이루며, 그 주된 원인은 무엇인가?
문양에 대한 이러한 의문들은 물리학적인 관점에서 보면, 여러 개(또는 무한 개)의 상호작용하는 소자들로 이루어진 다체계의 동력학에 대한 문제이다. 다체계의 문제에 대한 기존의 이해는 통계물리학의 관점에서 다루어져 왔다. 압력, 부피, 엔트로피, 농도, 자기화(magnetization)와 같은 거시적인 상태변수들이 정의되었고, 이러한 상태변수들은 열역학적 평형점 근처에서 선형적으로 다루어졌다. Gibbs 및 Boltzmann을 시작으로 오랜 기간 발전해온 통계물리학은 임계현상을 포함해 다수의 물리적인 현상의 이해에 지대한 공헌을 해왔고, 또한 현재에도 모든 물리학의 영역에서 다체계에 대한 연구방법으로 중요한 자리를 차지하고 있다. 그러나, 계의 동력학적 측면에서 보면 기존의 열 및 통계물리학은 소용이 없다. 즉, 자유에너지(free energy)를 최소화하는 평형상태를 대상으로 발전해온 평형 통계물리학에는 동력학적인 요소가 배재 되어 있다.
열역학적으로 열린 상태의 비평형 다체계는, 외부로부터 전달되는 에너지(또는 물질)의 공급과 외부로 빠져나가는 에너지의 적절한 조화로, 다양한 정상상태(steady state) 문양을 형성할 수 있다. 나타나는 문양들은 주어진 (유입과 방출을 조정하는) 매개변수들의 값에 따라서 정적일 수도 있고, 동적일 수도 있다. 뿐만 아니라, 공간에서 일정한 격자 형태를 나타낼 수도 있고, 불규칙적인 부정형일 수도 있다. 이러한 문양들은 일괄적으로 비평형 문양이라 불리운다 그리고 이들은 관계된 고차원 비선형-비평형계에서 나타나는 고차원 끌개의 표상이라 할 수 있다. 비평형계의 동력학은 자유도가 적은 계이던 많은 계이던 끌개들에 귀결되고, 바로 이 끌개들의 존재는 계의 동력학과 관계된 '실질적인 자유도'를 상당부분 제한한다. 공간에서 나타나는 문양과 시간에 따른 그들의 동력학은 비선형-비평형 다체계에서 형성되는 고차원 끌개들의 자화상이며 계의 자기조직화에 의하여 이루어진다. 계에 대한 이해는 이들에 대한 체계적인 분석으로 이루어질 수 있다.
보편성에 대한 의문
고차원 비선형-비평형 다체계의 자기조직화에 의해 나타나는 문양들에 대한 연구는 최근 물리, 화학, 생물학 등을 포함하는 과학계 및 공학계 전반에 걸쳐 하나의 중요한 연구 분야로 부각되었고 활발한 연구가 세계 도처에서 현재 이루어지고 있다. 과학자들은 다양한 비평형계를 연구해, 여러 형태의 비평형 문양들을 규명하였고, 앞서 문양형성과 관계된 의문들에 대한 답을 추구하고 있다.
이러한 과정에서 관찰된 흥미로운 사실은 나타나는 문양들이 많은 경우 관계된 계의 특정성에 무관하게 유사하다는 것이다. 그림 2(a)는 회전하는 자기장에 놓인 이차원 액정박막에서 나타나는 동심원 또는 나선형태의 주기적인 문양이며, 그림 2(b)는 Belousov-Zhabotinsky 반응-확산계에서 나타나는 유사한 문양들이다. 마지막으로 그림 2(c)는 이차원 매질에 균일하게 분포된 아메바 세포 군집의 화학적 교신 상태에서 나타나는 거시적이고 규칙적인 (파장이 아메바 세포 크기의 백 배 정도) 화학적 교신 물질의 문양이다. 또한 동일한 형태의 문양들이 Bernard 유체 대류계에서도 보여진 바 있다. 이렇듯, 고차원 비선형-비평형계에서 나타나는 문양들은 관계된 계의 특정성에 무관하게 많은 경우 동일한 형태를 갖는다. 이 사실은 변수가 무한한 고차원 비선형-비평형계에서도 저차원 계와 마찬가지로 특정한 유형의 보편적 끌개들의 존재를 제시한다.
문양들은 매개변수의 순차적 변화에 따라 갑작스런 정성적 변이를 가질 수 있다. 이러한 순간적인 변이는 곧 고차원 비선형-비평형계의 분기현상이다. 그림 3은 자기장에 의하여 위/아래로 진동하는 ferro-fluid layer의 표면에서 나타나는 문양의 분기과정을 잘 나타내고 있다. 용기에 담긴 유체는 외부로부터 가해진 교류형 자기장에 의하여 에너지를 전달받고, viscous damping에 기인하여 에너지를 잃는다. 1차 분기로 평평한 유체표면은 정육각형의 격자구조 정지파를 형성한다 [그림 3(a)]. 매개변수의 값이 보다 증가하면 정육각형의 파형은 특정한 시점에서 정사각형의 격자구조로 2차 분기를 갖는다 [그림 3(b)]. 매개변수의 값이 계속 증가하면 격자의 파장이 줄다가 [그림 3(c)], 다시 특정한 시점에서 시간과 공간에 대하여 규칙성이 없는 시공간 혼돈(spatio-temporal chaos)의 상태로 다시 분기를 갖는다 [그림 3(d)]. 여기서 놀라운 사실은, 매개변수의 변이에 따른 문양들의 분기과정에도 보편성이 나타난다는 사실이다. 즉, 문양들의 변이과정에도 보편적인 시나리오가 존재할 가능성이 크다는 것이다. 그림 1에서 보여진 동심원-나선문양 전이는 좋은 예라 볼 수 있다.
나타나는 문양들의 기하학적인 형태, 동적 특성, 그리고 그들의 분기과정에서 보여지는 보편성은 곧 저차원 비선형-비평형 동력학계에서 보여진 보편성에 대한 고차원 비선형-비평형 계로의 연장이라 하겠다.
아메바 군집의 문양형성
문양형성은 발생생물학(developmental biology) 분야에서 하나의 중요한 주제로 오랜동안 연구돼 왔다. 이에 대한 기존의 연구는 대부분 분자생물학에, 특히 유전자의 역할에 지나치게 의존했으며, 계의 동적인 특성에 대한 의문은 상당부분 배재되어 왔다.[4] 이러한 기존의 연구방법론은 수정되어야 한다. 생명체와 그들이 가지는 다양한 생명현상은 단순히 유전자에 쓰여진 정보에 의해 모두 계획되고 수행될 수는 없는 일이다. 세포분열과 함께 시작되는 발달과정에서부터 죽음에 이르는 소멸 과정까지, 한 생명체 또는 생명체의 집단에서 일어나는 생물학적 현상들은 생명체가 갖는 동적 특성의 결과라 믿어진다. 그 근거는 명확하다. 한 생명체를 구성하는 수많은 세포들은 많은 경우 비선형적인 생화학반응을 유지하고, 화학물질 또는 전기전인 방법을 통하여 서로 교신한다. 이는 곧 하나의 비선형-비평형 다체계라 볼 수 있으며, 이들의 생물학적인 양상은 앞서 언급한 비평형 문양형성의 원리로 분석되어야 한다는 결론을 얻게된다.
아메바 군집의 생물학적 발달과정에서 나타나는 거시적이고 주기적인 화학파 문양과 이에 대한 이해는 위의 결론을 뒷받침하는 대표적인 예라 볼 수 있다.[5,6]
아메바 세포는 핵이 있는 세포로 가장 원시적이고 단순한 세포이다. 이들은 자연에서 또는 실험실에서 쉽게 발견되고 배양될 수 있으며, 대장균 E. Coli를 먹고 자라 성체가 되면 두 개의 딸 세포로 분열한다. 이들 딸 세포들은 다시 성장하여 증식한다. 아메바 세포들의 실질적인 생물학적 발달과정은 먹이가 떨어짐으로 시작된다. 먹이가 떨어지면 아메바 세포들은 복잡한 그러나 잘 규명된 비선형 화학반응을 일으키고, 고등생물의 신경계에서 신경전달물질로 잘 알려진, cAMP 및 phospodiastrase라는 화학물질을 세포 밖으로 분비한다. 분비된 물질들은 토양을 비롯한 다양한 매질에서의 확산으로 이웃한 세포에 전달된다. 각 세포들은 이들 화학물질을 감지할 수 있는 수용체(receptor)를 가지고 있어 이웃에서 전달된 '신호'를 감지하고, 세포 안에서 수행하고 있던 화학반응을 보다 활성화시킨다. 세포의 표면에 있는 수용체들이 전부 '이용'되면, 세포 내 화학반응은 비활성화되고, 세포는 잠복기에 들어간다. 일정한 잠복기가 끝난 후, 수용체들은 다시 활동성을 갖고 세포 내의 화학반응을 다시 주관한다.
세포 내의 비선형 화학반응과 세포막 표면에 존재하는 수용체의 동적 특성을 실제적으로 기술하는 모델방정식은 하나의 저차원 비선형동력학계를 기술하고, 이 저차원 계는 앞서 그림 1에서 제시된 다양한 형태의 끌개상태를 가질 수 있다. 공간에 균일하게 분포된 아메바 군집은 확산에 의하여 상호 연결된 다수의 저차원 비선형동력학계라 볼 수 있으며 이 계의 자기조직화 현상은 비선형 화학반응-확산식에 의하여 기술된다. 이 계에서 나타나는 동심원과 나선 형태의 화학파 문양은[그림 3(c)] 관계된 계의 저차원 동력학이 소위 excitable한 경우(특정한 형태의 fixed point 존재)에 해당되어 나타남이 밝혀진 바 있다.[7]
아메바군집에서 나타나는
세포군집의 자기조직화에 의하여 이루어진 거시적이고 주기적인 화학파 문양은, 교신단계(signalling stage)가 끝나며 시작되는 다음 발달과정, 즉 이동단계(chemotaxis stage)에서 pre-pattern이라는 중요한 생물학적 역할을 담당한다.
공간에 널리 분포되어 교신을 하던 세포들은 이동단계가 되면, 근접한 화학파 진원지(예, 동심원의 중심 또는 나선의 중심점)를 향하여 능동적 이동을 한다. 시간이 흐름에 따라서 각 화학파 진원지에는 수 천 또는 수 만의 아메바 세포들이 모여 mm 크기의 거대한 다세포 생명체 'slug'가 형성된다. 그리고 이 slug들은 능동적인 연동운동을 통하여 먹이를 찾아 다른 장소로 이동한다.
여기서 중요한 사실은, 특정한 아메바 군집에서 형성되는 slug들의 갯수 및 크기가 군집의 교신단계에서 '확정된' 화학파 진원지들의 갯수 및 공간적인 분포에 따라서 결정된다는 점이다.[7] 아메바 세포들은 상호작용을 통하여 거시적인 화학파 문양을 자기조직화에 의하여 형성하였고, 이 문양은 역으로 각 세포들의 이동 및 slug형성을 지시하는 pre-pattern의 생물학적 의미를 갖는다. 문양 형성과정에서 밝혀진 또 다른 중요한 관찰은 화학파의 진원지들 사이에 이루어지는 경쟁이다. 문양형성의 초기단계에 존재하던 많은 진원지들은 서로 경쟁을 하며 지역 다툼을 갖는다. 결국, 마지막까지 살아남는 진원지들이 전체 계에 나타나는 문양의 형태와 주기성을 결정짓는다 볼 수 있다. 이러한 경쟁과정은 아메바 군집의 생존을 위한 최적화 과정이라 볼 수 있다. 예컨대, 지역경쟁을 통하여 군집의 생존을 위한 최적의 진원지 수와 분포가 결정되는 것이다.
문양형성과 관계된
과학적 이슈
비평형 문양형성 연구의 근본적인 목표는, 저차원 동력학계를 주 대상으로 정립된 기존의 비선형동력학에 대한 확대 발전이다. 즉, 비평형계에서 나타날 수 있는 다양한 형태의 문양(고차원 끌개)들을 구현하고, 이들의 형성원리 및 특성을 밝힌다. 그리고 매개변수의 변이에 따라서 나타나는 분기과정을 이해하고, 궁극적으로 시공간 혼돈(spatio-temporal chaos)을 이해한다. 이러한 일련의 연구 노력은 궁극적으로 비평형 시공간 문양형성을 주관하는 일련의 법칙에 대한 정립을 가져오리라 기대된다. 시공간 문양의 복잡성을 정량화 할 수 있는 수학적인 도구의 개발 또한 쉽지 않은 큰 과제이다.
문양형성과 관련되어 공학적으로 관심이 되는 문제는, 시공간 혼돈의 제어에 대한 문제이다. 공간에서 자유도를 갖는 비선형-비평형계에서는 원하지 않는 시공간 혼돈의 상태가 나타날 수 있고, 이에 대한 효율적인 제어는 사회경제적인 측면에서 큰 의미를 가질 수 있다. 막흐름 유체의 제어, 불안정한 레이저에 대한 제어, 화학반응기 또는 다양한 섞음장치에서의 효율적인 섞음 문제 등은 실로 중요한 예제들이다.
앞서, 아메바의 군집을 통하여 밝혔듯이, 비평형 문양형성은 생물계의 다양한 생물현상과 밀접한 관계를 갖고 있다. 전기적인 활동을 갖는 뇌의 신경세포 및 심장막 세포들은 이미 잘 알려졌듯이 비선형적이다, 뿐만 아니라 서로 전기적/화학적인 상호작용을 통하여 이웃한 세포들과 교신을 한다.[8] 이들의 집단으로 이루어진 생물학적 신경망 및 심장막에서는 비선형-비평형 다체계의 원리에 의한 문양의 동력학이 자연스레 기대된다. 당연한 의문은 이 계에서 어떠한 문양들이 나타날 것이며, 문양들은 어떠한 양상을 가질 것인가 이다. 동시에 또 다른 중요한 의문은, 나타날 문양들의 형태와 동적 특성이 어떠한 생물학적 의미를 가질 것인가 이다.
비평형 문양형성 연구의 패러다임은 보다 폭 넓게는, 혼돈, self-organized criticality, 시공간 혼돈 등을 포함한 다양한 복잡계 현상들에 대한 체계적인 연구의 출발이라 감히 단언하며, 이 기고를 마치고자 한다.
참 고 문 헌
[1] Special Sections on "Complex Systems", Science 284, 79 (1999).
[2] H. G. Schuster, Deterministic Chaos 3rd ed. (VCH, Weinheim, 1995).
[3] M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65, 851 (1993).
[4] J. J. Bonner, The Cellular Slime Molds(Princeton Univ. Press, Princeton, 1967).
[5] K. J. Lee, E. C. Cox and R. E. Goldstein, Phys. Rev. Lett. 76, 1174 (1996).
[6] E. Palsson, K. J. Lee, R. E. Goldstein, J. Frank, R. H. Kessin and E. C. Cox, Proc. Natl, Acad. Sci. USA 94, 13719 (1997).
[7] K. J. Lee, Phys. Rev. Lett. 79, 2907 (1997).
[8] E. R. Kandel and J. H. Schwartz, Principles of Neural Science, 2nd ed. (Elsvier, New York, 1985).
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이경진 교수는 1994년 Univ. of Texas at Austin에서 물리학으로 이학박사 학위를 취득한 후 Princeton University에서 Research Associate (Physics)를 거쳐 현재 고려대학교 물리학과
조교수로 재직 중이다.(kyoung@nld.korea.ac.kr)
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