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이 영 기
서 론
현대 물리학의 새바람은 전통적인 영역에서 벗어나 여타 다른 학문과의 연관성을 중시하고 실용적인 면을 강조하는 쪽으로 옮겨가고 있다. 이러한 조류가운데 새롭게 시작된 분야가 바로 경제물리학이다.[1-3] 이는 자연과학적인 방법을 사회현상에 적용한 최초의 성공적인 시도라고 할 만하다. 특히 경제 현상이 물리학자의 주목을 받고 있는 이유는 다음의 세 가지로 요약될 수 있다.
1) 실제적인 필요성: 경제현상의 이해는 당연히 현실생활에 직접적인 영향을 미친다. 국가의 경제정책 금융정책의 수립이라던지 국제무역수지의 균형, 대규모 투자 등의 전략을 수립하는 일 같은 거시적인 경제문제로부터 개인 투자자의 투자와 가계에 이르기까지 우리의 생활은 경제현상의 이해에 따라서 아주 질적인 변화를 가져오게 된다. 한편 전통적인 경제이론과 금융이론은 고도로 다양화되고 복잡한 경제현상을 이해하는데 많은 한계성을 드러내며 그 돌파구를 확률이론과 추정통계학에서 찾고자하는 시도가 많아졌다. 경제학자들이 이미 확률이론에서 잘 알려진 모형을 활용하여 경제현상을 이해하고자 한다는 것은 잘 알려진 사실이다. 최근에 확립된 Mandelbrot의 프랙탈이론과 통계물리학의 임계현상과 축척이론이 또한 경제학자들의 많은 관심을 끌고 있다.
2) 정량화 수치화된 풍부한 자료: 경제성장이 특히 물리학적인 접근이 용이한 이유는 경제성장을 나타내는 여러 가지 지수들-생산량, 주가동향, 환율, 금리, 무역수지- 등의 변동상황이 잘 정량화 되어 있고 자료가 풍부하다는 점이다. 경제현상은 어떤 사회현상보다도 탁월하게 정량화 수치화되어 있으며 정확성과 풍부한 자료를 자랑한다. 예로서 미국의 약 10개의 증권거래소에서 거래되는 모든 주식의 가격동향은 15초 간격으로 전산기록되며 1992년 이후의 자료만 보더라도 고배율로 압축된 이진화일로도 CD 100여장이[4] 넘어가는 방대한 자료가 축적되어있다. S&P500 지수 내에 포함되는 대표적인 주식의 거래빈도는 연간 100만 건을 넘어가며 요즈음 인터넷을 통한 전자거래가 활성화되어 가면서 폭발적인 성장세를 보이고 있다. 이 모든 거래내역도 전산기록되어 있다. 이밖에도 환율의 변동, 유가의 변동, 무역량의 변동, 금리의 변동 등 거시경제 지표도 아주 정밀하게 자료화되어 있어 누구나 쉽게 검색이 가능하다.
3) 비선형 복잡계와의 유사성: 많은 경제현상이 비평형 비선형의 복잡계와 비슷한 이론으로 설명되어질 수 있다는 가능성이 제기되어 있는 상태다. 경제현상의 주체는 개인과 가정으로부터 다국적 기업과 독립국가 및 국가연합에 이르기까지 그 규모와 활동범위가 다양하고, 또 이들 경제단위의 상호작용이 경쟁과 연합의 원리를 근간으로 복잡하게 얽혀있다. 이는 물리학에서 최근 활발히 연구되어지는 비평형 비선형 복잡계와 매우 닮은 모습이다. 특히 난류현상과의 유사성이[5] 밝혀지면서 경제현상을 이해하는 안목이 다각화되었다.
최근 한국을 비롯한 아시아 금융시장의 불안한 모습은 전혀 경제전문가들에 의해 예측되어진 바가 없으며 거시경제의 예측불가능성을 여실히 들어낸 예이다. 대규모의 경제공항이나 경기침체, 또 주가의 폭락 등은 정확한 예측이 불가능하고 그 이유가 아직 밝혀지지 않고 있다. 이러한 예측 불가능성은 기상현상이나 지진 등과 같은 비선형계의 특성 중의 하나이다. 물리학의 새로운 시각은 거시경제의 동역학을 이해하는 중요한 열쇠가 될 수 있으며 많은 경제학자들의 관심을 끌고 있다. 전통적인 물리분야가 관측과 실험에 중심을 둔 실험물리와 가설과 이론에 중점을 둔 이론물리로 크게 나뉘듯이 경제물리학의 영역도 관측과 실험에 해당하는 자료분석과 가설과 이론에 해당하는 모형개발로 나눌 수 있다. 다음 장에서는 자료분석을 다루고자 한다. 이후에 모형개발을 살펴보고 마지막 장에서 결론을 요약하고자 한다.
자료분석과 축척이론
자료분석은 일종의 관측이며 실험이다. 어떠한 이론과 법칙이 알려져 있지 않은 상태에서 물리학자들은 경제학자들의 기존의 관점을 넘어서 물리학자의 독특한 눈으로 경제현상을 다시 관측하기 시작하였다. 통계물리학의 전통적인 분야인 임계현상과 상전이의 기술에서 탄생한 축척이론과 멱법칙이 도입되고 또 최근 비평형 비선형 현상에 대한 이해에 많은 기여를 한 바 있는 프랙탈 이론과 혼돈 이론 등에 익숙한 통계물리학자들이 기존에 경제학에서 알려진 관측결과와는 다른 법칙을 탐구하기 시작하였다.
먼저 이해를 돕기 위해 그림 1에 잘 알려진 S&P500 주가지수와 변동율의 시간변화를 나타내었다. S&P500 지수는 미국내에서 거래되는 주식 중에서 주가총액이 가장 많은 순서대로 500개의 기업을 선정해 그 주가를 가중 평균한 숫자이다. 그림 1(a)에서 Y축은 S&P500 지수의 로그를 취한 값이고 X축은 시간축이다. 곡선이 평균적으로 증가하는 경향이 있다. 이는 주가가 지수함수적으로 증가함을 의미한다. 단순하게 100원을 은행에 저축했다면 이자율이 복리로 적용되어 시간이 지나감에 따라 예금총액이 지수함수적으로 증가하는 경향을 반영하는 현상이다.
곡선의 평균치가 지수함수적으로 증가한다면 요동(fluctuation)은 어떤 변화를 겪는가? 이 단순한 곡선이 주는 의미는 경제학자나 물리학자는 공히 이 곡선의 요동(fluctuation)에 관심을 기울인다는 것이다. 그림 1(b)에 S&P500 지수의 증가율을 나타내었다. 증가율은 로그눈금에서 요동을 나타내는 양이라 할 수 있다. 눈으로 보아도 증가율 곡선은 아주 불규칙하고 비선형 비정상상태에 있다는 것을 추측할 수 있다. 경제학자나 투자자에게 요동의 중요성은 그것이 시장을 역동적으로 만든다는 것이다. 한편, 전통적으로 통계물리학자는 요동(fluctuation)이 그 열역학 문제를 이해하는데 결정적인 역할을 한다는 것을 경험적으로 알고 있다.
요동을 이해하는 데 유용한 개념은 바로 자기유사성과 축척이론이다. 이는 상전이 현상을 연구하면서 발전된 고급이론이다. 물의 액체-기체 상전이 점에서 계를 살펴보면 모든 길이의 영역에서 요동이 일어난다. 그 결과 상관거리가 길어져 분자간의 거리보다 훨씬 길어지게 되며 모든 파장의 빛이 산란하게 되어 희뿌연 우유색이 된다. 이때 관찰자가 (확대경을 통해) 관찰하는 특징적인 길이를 변화시켜도, 계는 항상 통계적으로 유사한 모습을 보이게 된다. 계가 임계점에서 벗어나면 상관거리도 줄어들게 되어 통계적인 유사성이 깨어지게 된다.
임계점 근처에서 상관거리의 발산은 멱법칙으로 잘 기술되며 이 멱법칙에는 보편성이 있다. 즉 물 뿐만 아니라 알코올과 아세톤 같은 다른 액체에서도 동일한 멱법칙이 발견된다. 즉 상관거리 ξ가 온도 T에 대해 다음과 같은 관계를 갖는다.
ξ∼|T－Tc|α
여기서 임계지수 α는 액체의 종류와 무관하다. Tc는 임계온도로서 물질에 따라 다를 수 있다. 또 다른 임계지수는 외부의 섭동에 대한 계의 반응과 관계 있는 지수 β이다. 즉 감수도(susceptibility) X가
X∼|T－Tc|β
의 멱법칙을 보이는 것이다.
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1. 확률분포 함수와 축척지수 α
경제현상에도 자기유사성과 멱법칙이 존재한다는 사실은 1963년 Mandelbrot의 발견에 의해 주목받기 시작하였다.[6] 그는 목화의 가격변동을 분석한 결과, 가격변동의 분포가 멱법칙으로 잘 기술됨을 확인하였다. 즉
P(g)∼g－α
이고 여기서 α＝1.7이다. 이러한 멱법칙은 아주 특별한 성질을 가진다. 일반적으로 분포함수가 멱법칙으로 기술되고 그 지수가 1＜α＜2의 범위 안에 있으며 그 분포함수를 Levy 분포함수라 한다.[7] Levy 분포함수의 특징은 그 분포함수의 2차 이상의 평균치가 발산한다는 것이다. 예를 들면 2차의 평균치에 해당하는 표준편차가 발산하므로 Central Limit Theorem이 적용되지 않는 경우가 된다. 즉 독립된 Levy 변수를 충분히 크지만 유한한 수만큼 더한다 하더라도 합의 확률분포는 가우스 분포로 수렴하지 않고 오히려 Levy 분포로 남아있게 된다. 이러한 이상한 분포함수는 당시에는 획기적인 발견이었는데, 나중에는 많은 자연현상과 사회현상이 Levy 확률분포로 기술할 수 있음이 밝혀졌다.
Mandelbrot가 면화의 가격변동을 분석할 당시는 컴퓨터가 없었으며 그는 면화의 가격변동을 매일 기록하여 약 1000일 동안의 자료를 분석하여 위의 결과를 얻었다. 이 후 컴퓨터의 발달로 좀더 정밀하고 방대한 분량의 자료를 얻게됨에 따라 Mandelbrot의 결과를 좀더 정확하게 확증하자는 생각에서 다시 Mantegna 등이[8] 현대적인 자료인 S&P500 지수의 변동을 조사하게 된다. 이 때 관심 있는 물리량은 S&P500 지수인 s (t) 가 아니고 그것의 로그함수의 시간변화로 정의된 g ㅿt(t)인데 다음과 같이 정의된다.
여기서 gㅿt(t)는 근사적으로는 가격변동율로서 두 개의 독립변수의 함수이다. ㅿt는 가격변동의 시간간격이고 t는 가격변동이 이루어진 시각이다.
이 물리량을 분석한 결과 가격변동의 분포함수 P(g)가 역시 멱법칙을 보이는 것이 관측되었다. 하지만, α＝1.7로 기술되던 분포함수는 약 2배의 표준오차 범위 내에서만 성립하고 그 이후의 분포함수는 Levy 함수보다는 훨씬 빠르게 지수함수적으로 감소함을 보인다. 좀더 엄밀하게 분포함수의 감소 추이를 관찰한 결과, 최근에 Podobnik 등은 Exponentially Truncated Levy (ETL) 함수가[9] 도입하였다. 그림 2에 이 결과를 나타내었다. 각각 다른 분석 시간에 대해 S&P500 지수의 증가율 분포함수를 이론적으로 예측한 ETL 함수로 성공적으로 fitting 할 수 있었다.
동일한 생각으로 최근 Gopikrishnan 등은[10] 빠른 컴퓨터와 방대한 자료의 도움으로 아주 정밀한 분석을 시도하였다. 미국의 전체 주식시장에서 거래되는 모든 주식의 가격변동을 기록한 자료는 이진코드의 고배율로 압축된 후에도 약 700MB CDROM 100장에 해당하는 방대한 자료이다.[4] 이 자료를 분석하여 주가변동의 확률분포를 정밀하게 조사한 결과 분포함수의 멱법칙이 아주 넓은 영역에서 α＝3으로 잘 기술됨을 발견하였다. 이는 분포함수가 Levy 함수가 아니고 유한한 표준편차를 가진다는 것을 의미한다. 물론 조사한 자료가 조금씩 다른 것이기는 하지만 좀더 많은 양의 자료로 분포함수의 tail을 정확히 조사한 최근의 자료는 상당한 신뢰도가 있다고 평가할 만하다.
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2. 확률 분포함수의 불변성과 축척지수 β
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3. 자체상관함수
분포함수외에 주가의 변동을 기술하는 또다른 중요한 양은 바로 자체상관함수이다. 지금까지 다양한 자료의 연구결과 주가변동의 자체상관함수는 아주 짧은 (2분 정도) 시상수를 가지고 지수함수적으로 감소함을 보인다. 즉 자체상관함수는
로 표현되며 여기서 τ＝8 min 정도이다.[13] 한편 주가변동의 절대값의 자체상관함수가 멱법칙을 보이며 장거리 상관관계가 있음이 알려지게 되었다.[14] 이는 주가의 변동이 비선형적인 자체상관을 보인다는 증거이다. 이러한 특성은 이하 주가의 변동을 모형화하는데 중요하고도 어려운 점이다. 그림 4에 S&P500 지수의 변동율(a)과 절대값(b)의 자체상관함수를 나타내었다.
경제 성장 모형
가장 오래된 경제성장 모형을 Baised Random Walk (BRW) 모형이다
.[15] 주가의 변동을 독립적인 사건으로 보아 시도된 모형이다. 이는 주가의 변동에서 시간 상관함수가 매우 짧은 시상수를 보이는 것에 근거한 모형이다. 식으로 표현하면
이고 여기서 η(t)은 마구잡이 잡음으로서 평균이 영이고 표준편차가 1인 가우스 분포함수로부터 생성된다.
그림 5에 나타난 대로 BRW 모형은 실제 S&P500 지수의 변동과 유사한 신호를 구현하지만 여러 가지 면에서 충분하지 않다. 그림 1에 나타난 S&P500 지수의 변동률과 비교할 때 BRW 모형이 설명하지 못하는 몇 가지 중요한 차이점을 요약하면 다음과 같다.[2]
1) Concentration - Bunching of volatility
-- 분명히 주가변동에는 큰 폭의 변화들이 서로 뭉쳐있다. 즉 신호의 절대값에 상관관계가 존재한다.
2) Long tail of growth rate distribution (Noah effect)
-- 실제 주가변동에서는 BRW 모형에서 보다 훨씬 큰 폭의 변동이 존재할 확률이 크다.
3) Long term dependence and non-periodic cyclic motion (Joseph effect)
-- 주식시장에는 일정하지 않은 기간 동안 경기 침체와 경기 활황이 되풀이 되는 경향이 존재한다. 물론, 이러한 경향은 BRW 모형으로는 전혀 설명되어질 수 없다.
4) Apparent non-stationarity of the underlying rules
-- 주식의 거래와 주가의 변동은 분명히 비선형적인 요인에 의해 결정된다.
5) Repeated instances of discontinuous change
-- 주가의 변동은 자주 불연속적인 변화를 겪는다.
이러한 모순을 극복하기 위한 시도로 Mandelbrot은 주가변동을 하나의 신호로 보고 이 신호를 통계적으로 분석하기 보다는 이 신호와 비슷하게 눈에 보이는 신호를 모형으로 구현하고자 시도하였다. 그 결과 Fractional brownian motion과 Multi-fractal로 각각 가격변동과 거래시간을 모형화하여 매개변수의 어떤 영역에서 실제 주가변동과 아주 비슷한 신호를 구현하는데 성공하였다.[2] 다만, 그의 모형은 정밀한 통계적인 분석을 무시하고 직관적으로 눈으로 나타나는 그래프에만 주목한 것이 단점이다.
한편, 경제학자들 사이에서는 주가 변동의 절대값이 장거리 상관관계를 보이는 것이 모형의 주관심이었다. 사실 아직까지 이 두 가지 상반되는 형상을 함께 성공적으로 설명하는 모형은 존재하지 않는다. 경제학자들이 시도한 단순한 모형은 소위 Autoregressive Conditional Heteroskedastic (ARCH) 모형으로 다음과 같이 구현된다.[16]
신호 υt는 Normal distribution으로부터 독립시행으로 얻어진 난수열로 보고 신호 xt를 다음의 수식으로 얻는다.
xt＝σtυt
이 때 σt는 다음의 차이방정식에 의해 얻어진다.
σ2t＝a＋b1x2t－1＋…＋bkx2t－k
위의 차이방정식으로 분산이 지수함수적으로 감소하는 시간상관함수를 갖게 되고 이 때 시상수는 log(b1)으로 표현된다. 이는 b1이 1에 가까운 값을 갖게 되는 경우 상관시간이 아주 길어져서 장거리 상관함수를 흉내낼 수 있게 됨을 의미한다. 신호 xt의 표준편차 σx는 다음 식으로 주어진다.
ARCH 모형은 그것의 변종은 금융학에서 많이 연구되어지고 실제 투자이론에도 활발하게 응용되고 있다. 물리학자로서는 이 모형에 대한 연구가 많지 않다. 최근에 보스톤 대학의 Podobnik과 연구자들은 기존에 표준적으로 υt의 분포로 가우스 분포 또는 student-t 분포를 쓰는 대신 Truncated Levy 분포를 적용하고, 얻어진 신호를 여러개 독립적으로 합하여 재구성하는 (temporal aggregation이라고 알려져 있음) 방법으로 실제 주가변동에서 발견되는 분포함수의 crossover (한 종류의 멱법칙이 분포함수의 tail 쪽에서 다른 종류의 멱법칙으로 변화하는 현상)를 설명하고 또 분포함수가 상당히 넓은 시간간격에서도 멱법칙이 불변하는 특성을 성공적으로 재현하였다. 한편 요동의 장거리 시간상관함수를 좀더 잘 구현하기 위해 Generalized ARCH 모형이 등장한다.[17] 가장 단순한 경우 다음 식으로 표현된다.
σ2t＝a＋bx2t－1＋cσ2t－1
이러한 여러 가지 모형을 통합할 수 있는 좀더 일반적인 모형은 Sornette[18] 등이 연구한 것으로 다음과 같이 일반식으로 나타낸다.
g(t＋1)＝ag(t)＋b
이 모형은 상수 a와 b에 따라 매우 성질이 다른 다양한 모형군을 형성한다. 이 모형으로 멱법칙의 근원을 좀더 단순하게 설명할 수 있었다. 또 적절한 Mapping을 통하여 요동의 절대값의 장거리 시간상관함수도 성공적으로 설명할 수 있다. 이 분야에서 최근에 연구되어진 모형은 Truncated Levy 분포와 GARCH 모형을 결합한 것으로 아주 성공적으로 S&P500 지수의 변동을 잘 예측하고 있다.[19]
한편, 주가의 큰 폭의 변동에만 초점을 맞추어 주식시장의 붕괴를 예측해 보고자하는 시도도 있지만 모형에 너무 많은 매개변수가 개입된 것이 약점이다.[20] 이 밖에 또 다른 접근 방법은 무수히 많은 거래인들로 이루어진 가상의 주식시장을 만들고 각각의 거래인들에게 거래조건을 부여하여 동역학적인 모형을 만드는 것이다. 이러한 모형에 많은 시도가 있어왔지만 상대적으로 실제 시장을 모형화하는 데는 큰 성공은 보이지 못하고 있다. 여기서는 소개를 하지 않기로 한다. 다만 관심이 있으신 분들은 참고문헌을 참고하기 바란다.[21]
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맺음말
이상 경제물리학의 두 가지 조류 즉 자료분석과 축척법칙의 발견과 성장모형의 개발 등에 대하여 간단히 살펴보았다. 물론 여기서 다루지 못한 많은 다른 방법론과 분야가 존재한다. 하지만 크게는 이 두 가지 범주로 생각할 수 있겠다. 자료분석의 부문에서는 괄목한 만한 결과가 있지만 성장모형은 아직도 많은 연구가 필요한 상태이다. 특히 Ising 모형과 같이 단순하면서도 경제현상에서 발견된 멱법칙과 상관함수를 성공적으로 설명하는 모형을 개발하는 문제가 도전해야 할 과제라 하겠다. 현재까지의 모형들은 대개 너무 많은 매개변수를 도입하며 비선형적인 방법으로 미래를 예측하는데 초점이 맞추어져 있다. 이것은 학문적인 이해를 돕기보다는 실제적인 응용을 염두에 둔 결과이다.
참 고 문 헌
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[21] Takayasu, H., H. Miura, T. Hirabayashi and K. Hamada, Physica A 184, 127-134 (1992).
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이영기 박사는 고려대학교 물리학과에서 박사 학위를 취득한 후 현재 Center for Polymer Studies/Boston University 박사후 과정에 있다. 1998년에는 경제물리학 관련 논문 (Phys. Rev. Lett. 81, 3275 (1998))이 미국물리학회에서 1998년 우수 논문으로 선정되었다. |
한국 물리학 역사 자료실 개설
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현재 저희 홍보잡지에는 [물리학의 선구자]라는 난이 연재되고 있습니다. 당분간 본 난에서는 주로 외국인들을 중심으로 국제 최고 수준의 물리학의 선구자들을 계속 조망할 계획입니다. 본 난이 개설된 뒤로 몇몇 관심 있는 분들로부터 왜 한국인은 다루지 않느냐는 문의가 들어왔습니다. 따라서 저희 홍보잡지 편집위원회에서는 [물리학의 선구자]난과 함께 [한국의 물리학자]라는 난을 새로 신설하여, 한국 물리학의 발전에 많은 공헌을 한 선구자적인 분들을 하나하나 소개하고자 합니다. 현재 물리학회에는 한국 물리학계에서 선구적인 역할을 했던 분들에 대한 체계적인 자료가 수집되어 있지 않고, 따라서 이 분들에 대한 역사적으로 가치가 있는 소개를 하기가 무척 힘든 상황입니다. 이에 저희 물리학과 첨단기술 편집위원회에서는 한국 물리학 발전에 선구적인 역할을 한 분들에 대한 자료를 수집하고 있습니다. 수집된 자료는 자료 정리를 거쳐 한국물리학회 [한국물리학 역사자료실]에 보관하고, 그 평가된 내용을 한국의 물리학자 난에 소개하며, 한국물리학회 50년사 편찬을 비롯해서 한국 물리학사 관련 자료 집필에 참고할 예정입니다. 본 자료 수집 사업에 가족이나 친지, 교우, 후학들의 많은 관심과 협조가 있으시길 부탁드립니다.
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