김 상 락
들어가는 글
우리는 늘 앞으로 어떤 일이 어떻게 될 것인지를 예측하면서 살고 있다. 거의 매일 신문이나 라디오 또는 텔레비전 방송 등을 통하여 일기 예보나 주가 예측과 같은 것에 많은 관심을 기울이고 있다. 이와 같이 예측은 언제나 우리의 삶에 주요한 과제가 되고 있다. 예측은 앞으로 일어날 일에 대해 미리 말하는 것이다. 기본적으로 예측을 통하여 닥쳐 올 미래의 불확실에 대한 불안을 해소하고, 현재의 의사 결정을 한다. 과거에는 점쟁이나 점성술사들에게 이러한 역할을 의지하여 왔다. 현재에 이르러서는 과거에 미신이나 운의 영역에 머물렀던 부분을 보다 더 합리적이고 과학적인 방법에 기초하여 예측을 하려고 시도하고 있다.
주가를 예측한다는 작업은 그렇게 쉬운 일이 아니다. 오늘날의 금융 시장 움직임은 실로 매우 복잡다단하다. 실제로 주가를 제대로 예측한다는 것은 하나의 꿈에 불과할 뿐이다. 수많은 예측 방법들이 새로이 나타나고, 사라지고, 겨우 명맥만 유지하고 있다.
과학 연구에서 가장 강력한 하나의 수단으로 자리잡은 복잡한 대상이나 문제를 단순화하는 분석 방법이 있다. 복잡한 계를 부분 부분으로 쪼개어 나가 그 구성 성분이 어떻게 되어 있는지를 알아낸다. 이런 방향의 연구로 입자 물리학이 대표적인 좋은 예가 될 것이다. 이때 전체 계의 성질은 부분 계의 단순 합으로 나타날 것이라고 생각한다. 그러나, 1970년 대 들어 단순한 계에서도 복잡한 행위를 보인다는 카오스 현상[1]이 많은 분야에서 발견되었다. 이의 영향을 받아 반대로 복잡계 전체가 보이는 현상에 관심을 직접 기울이게 되었다. 바로 복잡계 이론[2]이다. 계의 구성 성분들을 완전하게 이해한다 하더라도 계 전체는 전혀 기대하지도 않은 현상과 예기치 못한 현상들을 나타내게 된다. 주식 시장은 매우 복잡한 계 중의 하나이고, 따라서 당연히 현대 통계 물리학에서의 주요 논제인 복잡계 이론의 좋은 적용 대상이 되고 있다. 여기에서 우리는 통계 물리학과 비선형 동역학을 바탕으로 하는 입장에서 주가 예측의 방법과 의미에 대해 살펴보기로 한다.
이와 같이 복잡한 주식 시장에 대한 어려운 문제를 설명하기 전에 먼저 다음과 같은 간단한 문제를 생각해 본다. 1980년 1월초에 만원의 여유 돈을 가지고 매달마다 재투자를 하여 1999년 5월 말 현재 이 돈이 얼마로 늘어나는지를 살펴본다. 먼저 단순히 현금 만원에 해당하는 물건을 사두었을 경우에는 물가 상승에 의해 평균적으로 41,400원으로 늘어나게 된다. 다음 안전한 3년 짜리 보증 회사채에 투자했을 경우에는 208,400원으로 늘어나게 된다. 이제 다소 불확실한 경우인 주식 투자를 생각해 본다. 단순히 종합 주가지수에 비례해 수익을 얻도록 투자하게 되면, 74,500원으로 된다. 극단적으로 주먹구구에 의해 즉, 완전히 마구잡이로 주가의 상승을 예측하는 경우에는 20,500원으로 되며, 100 %의 확률로 주가 상승을 맞출 수 있게 되어 주식이 상승할 때만 투자하고 그렇지 않을 때에는 그냥 보유하면, 가치는 7,891,900원으로 늘어나게 된다. 다시 말하면, 주식 투자의 경우에는 최저 20,500원에서 평균적으로 74,500원, 최대 7,891,900원으로 그 투자 수익이 달라지게 된다. 이제 더욱 나아가 주식과 채권 중에 보다 더 수익률이 좋은 쪽을 미리 완전히 알아 매달 전환 투자를 하는 경우에는 40,159,800원으로 늘어나게 된다. 사실 100 %의 주가 예측이나 가장 좋은 투자 수단을 알아낼 수 있는 방법은 없다. 그 방법을 알고 있는 사람은 당연히 이 세상에 있는 돈은 모두 그의 소유라고 해야 할 것이다. 그러나, 사실 더 많은 수익을 얻을 수 있는 경우에는 그렇게 될 확률이 낮아 따라서 위험과 불확실성이 커지게 마련이다. 금융 시장의 예측도를 더 높이게 되면, 이 위험성을 더 줄일 수 있을 것이다.
이러한 사실과 관련하여 주식 시장에 관련된 재미있는 신화를 하나 소개하고자 한다. 지난 1999년 12월 '1,000만원으로 4년만에 130억 중졸의 주식 도사'란 신문 기사를 잠깐 살펴보자. D증권 직원들에게 공매도 관계로 20억원을 갈취 당했다가 검찰 수사로 되찾은 개인 투자가 이 모씨에 대한 이야기로 1996년 1000만원으로 3년 7개월만에 130억원을 벌여 들였다는 것이다. 이씨는 주식을 매수 당일 팔거나 다음 날 매도하는 초단타 매매로 이와 같은 고수익을 올렸다고 한다. 1만번 주식 거래로 지불한 수수료만도 30여 억원이라고 한다. 실로 대단한 성공이다. 사실 이와 같은 성공담 때문에 많은 사람들이 주식 시장에 매력을 가지고 있는지도 모른다. 어떻게 이렇게 성공할 수 있을까? 어떤 비법이 있는 것일까? 주인공의 주식 투자 기법은 계속 성공할 수 있을까?
이번에는 또 다른 이야기로 1999년 11월 '순진한 투자자들 따라오면 주가 패대기치며 빠져나가'란 기사를 잠깐 살펴보자. 기관 투자가의 소위 '작전'에 관한 기사로 주가를 끌어올릴 목표 가격대와 작전 기간을 정해 증권사 한 두 군데에서 작전주를 신문에 미리 추천 종목으로 올리고, 주가를 끌어 올려 순진한 개인 투자가들이 따라오기 시작하면 주식을 팔고 빠진다고 한다. 이에 따라 개인 투자가의 피해가 엄청나다고 한다. 특히 요즈음 활황을 보이고 있는 코스닥 시장은 작전 세력이 좋아할 조건을 모두 갖춘 곳이라며, 일확천금의 헛된 꿈을 버리고 정석 투자할 것을 조언하고 있다. 도대체 주식 시장은 어떤 곳이란 말인가? 보통 주식 시장에서는 통계적으로 7080 %의 투자자들이 돈을 잃는다고 한다.
이와 같이 복잡다단한 주식 시장의 특성을 이해하기 위해서는 여러 가지 접근법이 있을 수 있다. 주가 변동의 시계열을 직접 바로 분석하는 방법과 주식 시장에 대한 적절한 모형을 만들어 시늉을 해 볼 수도 있다. 주식 시장을 비선형 확률계라고 보고, 이에 대한 시계열 분석으로 표준적인 선형 확률 방법의 확장과 최근의 비선형 결정론적 방법에 의한 접근을 생각할 수 있다. 여기에서는 비선형 동역학에 기초한 비선형 시계열 분석과 예측에 관해 자세히 알아보고자 한다. 먼저 경제 시계열의 특성과 시계열 분석의 의미에 대해 살펴보고, 비선형 동역학과 경제 현상과의 관련성에 대해 알아보고, 이어 비선형 시계열 분석과 예측 방법의 개요에 대해 살펴본다. 또 현실 주식 시장을 시늉하여 주식 시장의 특성을 바로 알기 위한 모형에 대해 간단히 소개한다.
경제 시계열의 분석
과학의 주요 목적 중의 하나는 과거의 행위를 이해하고, 미래의 행동을 효과적으로 예측하려는 것이다. 그렇게 하기 위해서는 관측된 현상을 설명하는 올바른 법칙을 찾아내는 것이다. 이 경우 초기 조건을 완전히 알게 되면, 관련 방정식을 풀어서 미래의 행위를 잘 예측할 수 있게 된다. 만약 그러한 방정식을 전혀 모르게 되면, 다른 방법으로 계의 변화를 지배하는 숨어 있는 어떤 규칙을 알아내어야 한다. 그러한 방법 중의 하나가 바로 계가 만들어낸 시계열 분석을 통한 예측이다.
시계열을 이해하려는 행위는 계가 어떻게 행동하는지에 대한 겉으로 드러나는 하나의 수학적 통찰 과정이다. 이에 비해 시계열을 배운다는 것은 시계열 내에 있는 어떤 숨은 구조를 보여 줄 수 있는 셈법을 알아내는 행위이다. 따라서 시계열을 배우고 이해하는 행위는 시계열 분석에 대한 상호 보완적인 접근[3]이며, 결국 관측 사실을 제대로 설명하려는 노력이 될 것이다.
일반적으로 경제 시계열이 가지는 특징은 불충분한 자료의 수, 외부 잡음의 상당한 개입, 일정 시간 간격이 아닌 자료 수집, 비정상성을 가지는 경우가 많다는 점이다. 당연히 이들은 경제 시계열 분석과 예측을 근본적으로 어렵게 만드는 요인이 되고 있다.
1920년대 이전에는, 예측은 주로 시간 영역에서 간단하게 그 시계열을 온곳 맞추기(global fitting)에 의해 알아내는 것이었다. 1927년 Yule[4]은 태양 흑점의 연 변화를 예측하기 위한 자기 회귀 기법을 고안하였다. 그것은 다음 시간에서의 값은 이전의 관측 값들의 선형 가중 합으로 예측하며, 외부 간섭에 의한 어떤 잡음이 있다는 것을 가정했다. 잡음은 다음에 일어날 사건이 그 이전의 사건과 아무런 선형 상관 관계가 없는 것이다. 이러한 선형 ARMA(Autoregressive Moving Average) 모형[5]은 경제 현상을 설명하기 위한 통계학의 큰 기둥을 형성하여, 그 후 50여년간 많은 발전을 이루었다. 이 모형에서는 시계열에서 보여지는 불규칙한 시계열의 행위는 외부의 마구잡이 충격의 영향으로 생각한다.
한편, 1980년에 이르러 새로운 시도들이 나타났다. 비선형 동역학 이론에 바탕을 둔 시간 처짐 파묻음에 의한 상태 공간 재구성 방법[6]이다. 앞의 경우와는 달리 시계열에서 보여지는 겉보기에 불규칙한 모습은 그 계 자체가 가진 비선형성 때문에 나타난다고 생각한다. 그것은 시계열이 만약 어떤 결정론적 지배 방정식으로부터 만들어진다면 관측의 밑바닥에 있는 기하학적 구조를 이해하기 위한 하나의 기법으로 도입되었다.
그림 1에 보인 바와 같이 어떤 계를 선형 결정적, 선형 확률적, 비선형 결정적, 비선형 확률적의 네 영역으로 나누어 볼 수 있다. 선형 결정적 계는 위상 공간상에서 시간이 지남에 따라 비김점, 무한대로의 발산, 주기성의 행위만 보인다. 비선형 결정계는 추가로 카오스 행위를 보인다. 결정론적 계의 동역학에 대해서는 어느 정도 잘 이해하고 있다. 선형 확률계는 앞에서 이야기한 전통적인 ARMA 모형에 의해 대체로 잘 설명되고 있다. 문제는 비선형 확률계의 경우인데, 여기에 접근하는 방법은 두 가지가 있다. 첫째로 기존의 선형 확률적인 방법에 작은 크기의 비선형 항을 도입하는 방법이다. 둘째로 기존의 비선형 결정적인 방법에 작은 크기의 잡음 항을 도입하는 방법이다. 우리가 실세계에서 보는 계는 대부분이 비선형이고 잡음이 많이 섞여 있는 비선형 확률계의 경우이므로 위 두 방법은 이 경우를 들여다보는 상보적 역할을 한다. 둘째 방법은 4장에서 구체적으로 설명할 것이다.
첫째 방법은 비선형 확률 과정을 설명하기 위해서 1982년 Engle은 소위 ARCH(Autoregressive Conditional Heteroskedastic) 모형을 처음으로 제안[7]하였다. ARCH 모형은 어떤 주어진 기간에서의 시계열의 분산은 상수항과 이전 기간의 마구잡이 성분의 분산에 관련된다는 것이다. 다시 말하면, 시계열 자체가 아닌, 시계열의 분산이 예측 가능하다는 것이다. 이렇게 생성된 시계열의 떨기수 분포는 꼬리가 통통하고, 중심 봉우리가 높은 모양을 하고 있다. 또 이 시계열은 짧은 시간에는 다소 무작위하나, 긴 시간에 걸쳐서는 반지속성을 보인다. 이어 여러 변형인 STAR(Smooth Transition Autoregressive) 모형, 비대칭 Markov-switching 모형, GARCH(Genearlized Autoregressive Conditional Heteroskedastic) 모형, TAR(Threshold Autoregressive) 모형 등이 나타났다. 이들에 대한 보다 자세한 설명은 문헌[8]을 참조하기 바란다.
경제 현상과 비선형 동역학
경제학에 금융 시장에 관한 효율 시장 가설(Efficient Market Hypothesis)이 있다. 효율 시장 가설은 정보 유통이 효율적으로 되어 있는 시장인 경우, 시장의 모든 참가자들의 기대를 완전히 고려하다면, 변하는 가격을 전혀 예측할 수 없다는 것이다. 다른 표현으로 참가자들이 적절한 방법으로 기대하는 가격은 완전히 마구잡이라는 것이다. 물론 이 가설이 성립하기 위해서는 시장 참가자들이 완전하게 이성적으로 행동하여야 할 것이다. 그러나, 실제 시장에 있어서는 모든 시장 참가자들이 모든 정보를 즉각적이고, 올바르게 처리하지도 않을 뿐 아니라 이성적이지도 않다. 인간의 행동은 경우에 따라서는 이성적이다라기보다는 감정에 치우치기도 하고, 똑같이 제공된 정보라도 개인이나 기관의 해석해 낼 수 있는 능력에 차이가 있으며, 과학/기술이 끊임없이 발전하고, 사회는 끊임없이 달라지며, 경우에 따라서는 정보를 얻는 데에도 제한을 받는 경우도 있다. 따라서 실제 시장에서는 가격은 완전히 마구잡이가 아니라고 할 수 있다.
오늘날의 금융 시장에서는 수많은 참가자들이 있다. 각 참가자는 위험에 대해 다른 대처 방안, 투자 기간의 차이, 새로운 정보에 대한 다른 대응이나 동기 유발을 보이게 된다. 이와 같은 복잡한 경우에 이 모든 상호작용들을 단순히 선형 모형으로 설명할 수는 없을 것이다. 비선형 모형은 겉보기에 마구잡이라고 보여지는 경제 시계열의 움직임을 외부 잡음에 의해서가 아니라 자생적인 비선형 과정에 의해 일어난다고 설명할 수 있다.
어떤 계가 결정론적이라고 하는 것은 계의 미래 상태는 현재의 상태와 그 동역학 법칙에 의해 완전히 결정된다는 것이다. 예를 들면, 우리 태양계를 구성하는 아홉 개의 떠돌이 별의 현재 위치와 속도를 완전히 안다면, 뉴턴의 운동 법칙과 만유 인력 법칙에 의해 각 떠돌이 별의 위치와 속도를 완전히 하나의 값으로 결정하게 된다.
결정론계와 확률론계를 구별하는 작업은 아주 중요하다. 왜냐하면, 어떤 계의 미래 행위의 올바른 예측은 결정론적인 경우에 한해서만 가능하기 때문이다. 즉 결정론 계의 과거 정보는 미래 상태를 확실히 결정한다. 더욱 이 예측 가능성을 이용하여 계의 특성을 조사하거나 계를 조절할 수 있게 된다.
이와 반대로 확률론적 계에서는 예측은 성질상 통계적이고 무작위이며, 평균값과 모멘트들, 자기 상관 함수 등과 같은 몇몇 통계량만 얻을 수 있다. 어떤 시계열 자료로부터 그 계가 결정론적인지 확률론적인지를 결정하는 것은 그렇게 쉽지가 않다. 매우 많은 자유도를 갖는 결정론적 계는 거의 확률론적 성질을 보이게 된다. 따라서 순수 확률론적인 계를 무한히 많은 수의 자유도를 갖는 결정론계의 극한이라고 할 수 있다. 예컨대, 동전 던지기나, 주사위 굴리기와 같은 경우이다.
몇 개의 자유도를 갖는 단순한 비선형 결정론계 즉 카오스계는 확률론적 계가 보이는 경우와 비슷하게 불규칙한 모습의 시계열을 보인다. 그 이유는 초기 조건에의 민감성 즉 거의 동일한 초기 조건을 가진 두 개의 자리길은 지수적으로 빠른 속도로 서로 멀어지기 때문이다. 이의 적절한 표현이 바로 소위 나비 효과[1]로서 서울에서의 노랑나비의 날갯짓이 있었느냐 없었느냐 정도의 아주 작은 차이에 의해 반년 후에 미국 마이애미에서 허리케인이 생기느냐 어떠냐의 정도의 큰 영향을 보인다는 것이다. 잘 아는 바와 같이 로렌쯔[9]에 의해 카오스의 초기 조건에의 민감성이 처음으로 알려졌다. 이 지수적 멀어짐은 카오스계가 실험적으로 확률론적 계에서와 같은 긴 시간 행위를 보이게 한다. 그렇지만 카오스 계가 확률론 적인 계와 근본적으로 구별되는 중요한 차이점은 짧은 시간 동안은 예측 가능하다는 것이다. 여기서 주의할 점은 하나로 결정된다는 것과 예측 가능하다는 것이 다르다는 것이다. 결정적 계라고 하더라도 비선형성을 가지게 되면, 초기 조건이 아주 조금 달라지더라도 긴 시간이 지난 후에는 떠돌이 별들의 위치와 속도가 엄청나게 달라질 수 있게 되어 장기 예측은 원리적으로도 불가능하게 된다.
비선형 시계열 분석과 예측
이제 비선형 시계열 분석과 예측 방법에 초점을 맞추기로 한다. 우리는 측정이나 관측을 통해서 어떤 동역학계로부터 시계열 자료를 얻을 수 있다. 이 시계열 자료 속에는 그 동역학계가 가지고 있는 정보가 들어 있다. 우리는 그 동역학계의 특성이나 정보를 얻기 위한 하나의 방법으로 재구성된 위상 공간을 만들 수 있다. 그 관계를 그림 2에 나타내었다. 단일 스칼라 변수 측정값 xt를 다중 변수인 벡터 위상 공간에 표현하면, 동역학계인 경우 이렇게 만들어지는 궤적은 더 이상 겹치지 않게 된다. 위상 공간에서 시간 처짐 벡터 Xt는
Xt＝(xt, xt＋T, …, xt＋(m－1)T)
로 정의된다. 여기서 T는 처짐 시간이라고 하고, m은 벡터의 차원으로 파묻음 차원이라고 한다. 이 시간 처짐 벡터들과 지배 동역학 사이에 깊은 관련이 있다. 이 연결은 Takens[6]에 의해 하나의 정리로 증명되었다. 이와 같은 시간 처짐 자리표에 의한 위상 공간 재구성 방법이 시계열 분석과 예측[10]의 기초가 되었다. 위상 공간 재구성을 위한 적절한 파묻음 차원과 처짐 시간을 구하는 여러 가지 방법[11]이 나타났다. 그러나, 아직까지 어느 것도 확실하게 모든 시계열 데이터에 적용할 수 있는 기법이 알려지고 있지 않다. 어떤 종류의 데이터에 대해서는 어떤 기법이 더 좋은 결과를 가져오는지에 대한 더 많은 연구가 이루어져야 한다. 따라서 여러 가지 종류의 데이터를 다양한 기법에 의해 처리해서 데이터의 특성을 결정하는 도구의 필요성이 절실하다 할 것이다.
그림 2에 보인 바와 같이 동역학계는 하나의 암흑 상자라고 할 수 있다. 위상 공간에서의 하나의 점은 현재 계의 상태에 대한 완전한 정보를 가지고 있다. 대표적인 경우, 위상 공간에서의 하나의 점은 계의 상태를 나타내는 몇 개의 독립적인 변수들의 동시 측정과 일대일 대응 관계를 가지고 있다. 일대일 대응이란 시계열 변수들의 측정에 의해 본래 동역학 계에 대한 위상 공간을 알아낼 수 있다는 것이다.
비선형 시계열 분석에는 세 가지 주요 목적이 있다. 첫째는 예측으로 계의 시간 변화를 정확하게 예측하려는 것이다. 비선형 시계열인 경우에는 결국 짧은 시간 뒤의 예측만 가능하게 될 것이다. 둘째는 모형 만들기로 계의 긴 시간 동안의 모습을 정확하게 설명하는 모형을 만들어 내는 것이다. 이 모형은 결국 어떤 미분 방정식의 형태로 나타낼 수 있을 것이다. 셋째는 계의 특성 조사이다. 계의 특성으로는 선형성/비선형성, 결정론적 계/확률론적 계, 계의 자유도의 수, 쪽거리 차원, 리아푸노프 지수 등이 있다. 시계열 분석 순서대로 보면, 먼저 시계열을 만드는 결정적 법칙이 존재하는가를 물어야 한다. 그 다음 만약 결정적 법칙이 있다면, 상태 공간의 차원 수를 알아내어야 한다. 이어 그 시계열이 얼마나 카오스 성질을 가지는지를 정량화 한다.
경제 시계열의 비선형성이 있는가를 보기 위해 대리 자료 (surrogate data)를 만들어 검정[10]한다. 대리 자료는 원래 자료 집합으로부터 어떤 기무 가설을 검정하기 위해서 인위적으로 만들어 낸 자료이다. 이 방법의 주요 목적은 원래 자료와 비교할 수 있기 위한 일종의 판단 기준을 제공한다. 비선형성 검정에 있어서 원래 시계열의 자기 상관 관계를 모방하는 무작위 과정에 의해 대리 자료를 발생함으로써 시계열의 자기 상관에 의한 인위성의 여부를 알아 볼 수 있다. 보다 자세히 말하면, 어떤 시계열의 자기 상관 함수로부터 카오스의 징조가 나타나는지를 알아보기 위해 원래의 시계열의 자기 상관 함수를 그대로 유지하는 어떤 무작위 과정에 의해 대리 자료를 만들게 된다. 어떤 카오스 검정 방법에 의해 시계열 속에 카오스가 있다는 것을 알았다고 하자. 만약 똑같은 검정 방법이 대리 자료 시계열 속에서도 여전히 카오스가 있다는 것을 보여준다면, 이것은 순전히 자기 상관 함수의 산물이다라고 생각할 수 있을 것이다.
카오스 시계열에서의 예측 방법은 먼저 이 카오스 시계열들을 가지고 적절히 위상 공간 재구성을 한다. 재구성된 위상 공간에서의 짧은 시간 동안 일련의 위상 공간상의 점들의 모임을 과거의 다른 시간에 전체 시계열에 대한 위상 점들의 모임 중에서 어떤 한 곳의 변화 양상을 먼저 살펴보아 다음 순간에서의 변화를 예측하기 위해 현재부터 과거로의 얼마 동안과 비슷한 이전의 양상을 찾아 다음의 변화는 지나간 과거의 양상에서 선택하여 예측하는 것이다. 보다 구체적으로 일기 예보의 경우로 예를 들면 이 방법은 다음과 같이 설명할 수 있다. 먼저 지난 며칠 전부터 오늘까지 날씨가 변하는 양상을 과거에서 같은 수의 날 동안 아주 비슷한 양상을 가진 경우를 찾는다. 일단 비슷한 양상을 보이는 자료를 찾아냈다면, 내일의 날씨는 과거의 그 다음 날의 날씨와 비슷할 것이라고 예측하는 것이다. 이렇게 하는 방법은 대체적으로 조잡한 것처럼 보이지만 끌개의 차원이 작고 충분히 큰 시계열 자료에서는 약간의 보정으로 매우 효과적인 것으로 드러난다. 보다 일반적으로 이야기하면, 이 동역학적 예측 방법을 재구성된 카오스 끌개 위에서의 자리길의 기하학적 구조를 이용하는 것이다. 카오스 끌개 위에서의 어떠한 궤적도 일반적으로 되풀이된다는 사실이다. 끌개 위에서의 마지막 점에 가장 가까운 이전의 이웃 점을 찾아내어 그 이웃 점들의 시간에 따르는 흐름을 마지막 점에 대한 예측을 위해 사용한다. 카오스 계에 대한 여러 가지 예측 방법이 이미 개발되었다.
경제 시계열 속에서도 카오스성의 존재 여부에 대한 연구가 매우 활발하게 이루어지고 있다. 예컨대, 우리 나라에서의 일별 주가 지수 지수 수익률인 경우는 거의 가우스 무작위 과정과 가깝다고 보여지고 있지만, 하루 동안 변동하는 일분 간격의 주가 지수 수익률은 어떤 날에 따라서 가우스 마구잡이 과정과는 상당히 다른 양상을 보이고 있다. 경우에 따라 하루 동안의 주식 거래는 어떤 날에 따라서 비선형 동역학을 따르는 카오스의 징조가 있다고 보여지고 있다. 어찌되었든 경제 시계열인 경우에 상당한 크기의 잡음이 들어 있기 마련이므로 잡음 문제[12]에 대한 해결 방안의 모색이 앞으로의 비선형 시계열 분석과 예측에 가장 핵심적인 연구 과제가 될 것이다.
뿐만 아니라 최근에 이르러 시계열 예측을 위한 더욱 다양한 방법이 제안되고 있다. 신경 그물 기계 학습 방법,[13] 유전 셈법,[14] 웨이브렛 분석 방법[15] 또는 이것들의 복합적 방법 등이 있다. 어떠한 경우든 주가 예측에 대한 결과는 그렇게 성공적이지는 못하고 있다. 이 모든 방법들은 기본적으로 과거의 변화 형태를 보고 미래를 예측한다는 기본 전제가 되어 있어 주가의 미래의 변화를 예측하는 데에는 당연히 문제가 있다. 다시 말하면 과거에 나타나지 않은 모습은 절대로 예측할 수 없다는 것이다. 이런 경우에 대한 해결책은 과거의 자료로부터 모형을 만들어 내게 되면 될 것이다. 그러나, 모형을 세우기가 쉽지 않을 것이다. 그리고 만약 주가 예측이 100 %로 정확하게 예측되어진다면, 본질적으로 주식 시장이 성립될 수가 없을 것이다. 왜냐하면, 자기가 사고 싶어도 아무도 주식을 파는 사람이 없을 것이기 때문이다. 반대로 팔고 싶어도 마찬가지일 것이다. 현실 주식시장은 종국적으로도 100 %의 확률로 결코 예측할 수는 없을 것이다. 현실 주식시장에서는 단지 주가 예측의 확률을 약간이라도 더 높은 쪽이 오랜 기간에서는 결국 돈을 벌게 될 것이다. 이와 관련하여 최근 주가 시계열의 변화 주기를 찾아내는 노력이 진행되고 있다. 주가 시계열 속에 들어 있는 여러 순환 성질들을 찾아내게 되면, 장기 예측에도 효과적이게 된다. 앞으로는 이 방법을 세련되게 하면 상당히 좋은 도구가 될 것이다. 아직 확실하게 결론이 난 것은 아니지만 투자 위험을 줄이기 위해서 비선형 특성 값을 활용하여 주식 투자의 포트포리오를 구성하는 데에 도움을 받아 위험 관리를 어느 정도 효율적으로 하는 것이 가능할 것이다.
주식 시장 모형: 산타페 인공 주식 시장
기체 분자 운동론에서 이상 기체 모형은 실제 기체 연구의 하나의 참고 기준 역할을 하고 있다. 이론 전개의 입장에서 보면, 효율 시장 가설은 실제 시장의 행위를 연구하는 데 있어서 이상 기체 모형과 비슷하다고 볼 수 있다. 실제 시장은 100 %로 효율적일 수 없고, 여기서 벗어나는 것은 다른 요인에 의한다고 생각할 수 있을 것이다.
실제 금융 시장을 생물학적 진화 모형으로 보는 입장이 있다. 금융 시장에서 유가 증권, 기관, 투자가들이 서로 작용해서 '경제 선택의 법칙'에 의해 동역학적으로 진화한다고 생각한다. 각 금융 행위자들은 서로 경쟁하고, 시장 환경에 적응해 나간다. 그러나 각 행위자들은 가장 바람직한 방향으로만 그렇게 할 수는 없을 것이다. 이런 생각을 정리한 것이 바로 행위자 기초 모형(agent-based model)이다. 행위자 기초 모형[16]은 금융 시장에서의 복잡한 행위나, 동역학을 보다 더 현실적인 전략과 정보 처리 방식을 사용하여 시늉을 통하여 이해하려는 노력이다. 시장 참가자들은 제한된 정보에 기초하여 자기 나름대로 최선 또는 차선의 전략을 짜는 역할을 한다. 그 참가자들은 나름대로 이익을 얻거나 손실을 입게 될 것이다. 이익을 내는 전략은 시간이 지남에 따라 돈을 모으게 되고, 그렇지 않는 경우 돈을 잃게 되어, 결국 시장 경제에서 탈락하여 없어지게 될 것이다. 금융 시장에서의 하나의 전략은 하나의 생물 종에 해당하고, 어떤 행위자가 가지고 있는 총액은 종의 개체 수에 해당한다. 새로운 전략은 기존 전략의 수익성에 영향을 주게 되고, 경우에 따라서는 기존 전략을 대체하거나 자신이 없어지게 될 것이다.
이에 기초하여 산타페 연구소의 B. Arthur 등[17]은 산타페 인공 주식 시장(Santa Fe Artificial Stock Market) 시늉 모형을 만들었다. 산타페 연구소에서는 복잡계에 대한 연구를 하기 위해 물리학, 경제학 생물학, 전산학 등의 학자들이 모여 협동 연구를 수행하고 있다. 산타페 인공 주식 시장은 간단한 내생적 요인들이 복잡한 시장 행동을 보여주는 하나의 틀을 제공한다. 시장은 주식을 사고 파는 다양한 행위자들로 이루어져 있다. 어떤 한 행위자의 의사 결정은 주식의 가격이나 배당이 오를 것인가 내릴 것인가에 대한 판단에 따라 이루어진다. 그 의사 결정을 위한 가격 예상은 다윈의 유전 법칙에 따라 진화한다. 이 모형에서는 각 행위자가 투자 전략을 배우는 즉 진화 속도에 따라 시장 전체는 두 가지 다른 모습을 보인다는 것이다. 만약 전략이 천천히 진화하게 되면, 시장은 효율 시장 가설과 비슷한 양상을 보인다. 만약 전략이 보다 더 빨리 진화하게 되면, 시장은 일종의 불안정성을 보이고, 통계적으로 현실 시장이 전형적으로 보이는 성질을 보인다. 다시 말하면, 금융 시장의 복잡한 행동은 전략의 진화 속도에 관계된다는 것이다. 이 모형은 주식 시장을 좀더 미시적으로 주식 시장의 특성을 이해하는 좋은 수단이 되고 있다. 경우에 따라서는 앞으로 나타날 주식 시장의 모습을 미리 살펴 볼 수 있게 할 것이다. 또 이와 관련하여 최근 주가 자체가 아닌 주가 수익의 변덕(volatility)이 스스로 짜임 임계성(self-organized criticality)이 있어 멱수 법칙(power law)을 가지고 분포하고 있다는 것이 자세한 연구 결과로 알려졌다. 이에 대해서는 econophysics[18]를 참고할 것. 이 결과는 주식 시장의 행동이 카오스의 가장자리에 있다는 것을 뜻한다.
마무리하며
주가 예측을 위한 연구는 경제학이나 경영학의 대상만은 아니다. 앞에서 우리는 비선형 동역학에 기초한 방법이 어떻게 주가 예측을 위한 새로운 방법을 제공하는지를 살펴보았다. 이와 같이 물리학의 연구 방법이 다양한 대상에 적용될 수 있을 것이다. 여기서 물리학이 모든 현상을 설명하거나 해석할 수 있다는 것은 아니다. 단지 그 현상을 이해하는 데 도움을 줄 수 있다는 것이다. 파머[21]가 지적한 바와 같이 금융 시장을 연구하는 물리학자와 경제학자들 사이에는 상당한 장애물이 현존한다. 물리학자는 경제학자의 모호성에 대해 지적하고, 경제학자는 물리학자들이 '타잔 콤플렉스'를 가지고 있다고 비난한다. 실제로 물리학자는 경제에 대해서는 잘 모르고, 경제학자는 물리학에 대해 잘 모르기 때문에 이러한 현상이 일어난다고 볼 수 있을 것이다. 그렇지만 물리학자는 경제학자의 도움을 필요로 하고, 경제학자는 물리학의 새로운 방법을 필요로 할 것이다. 즉 서로간의 협력이 금융 시장을 이해하는 연구에 도움을 주어 목표 달성에 보다 더 유리하게 작용할 것이다.
마지막으로 사실 과학적으로 주가 예측은 늘 이루어져 왔으나, 문제는 그 예측 확률이 그렇게 높지 않아 실제 응용성이 낮았던 것이 사실이다. 여러 방면에서 주식 시장을 보다 더 잘 이해하게 되면, 주가 예측을 보다 더 나아지게 할 수 있을 것이다. 푸앙카레 시대에 셈틀이 없어 카오스 현상을 정량적으로 확실하게 이해하지 못했던 것과 마찬가지로 지금의 주식 시장에 대해서도 정량적인 강력한 도구들이 개발되면 언젠가 그 돌파구가 열릴지도 모른다. 예컨대 인공 지능, 새로운 수학, 강력한 시늉 기법 등이 도구가 될 수 있을 것이다. 그러나, 주식 시장 자체가 끊임없이 진화해 나가므로 예측 방법도 그에 따라서 발전해 나갈 수 밖에
없을 것이다. 결국 어쩌면 주식 시장을 완벽하게 알아낸다는 것은 거의 이룰 수 없는 꿈이라고 말해야 할 것이다 그러면 주가는 어떤 조건에서 얼마나 예측 가능할까? 과연 주가 예측은 허구인가 진실인가?
참 고 문 헌
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[16] J. Farmer, Comput. Scien. Eng. Nov./Dec. 1999, p. 26.
[17] W. B. Arthur, S. Durlauf and D. Lane, (eds.) The Economy As An Evolving Complex System II (Reading, MA. Addison, 1997).
[18] R. N. Montegna and H. E. Stanley, Nature 376, 46 (1995).
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김상락 교수는 한국과학원 물리학과 박사로서 금오공과대학 교수, 영국 Bradford 대 화학공학과 방문 연구원을 거쳐 현재 경기대학교 물리학과 교수로 재직 중이다. |
