(1) 힘(force), 응력(stress) 및 응력변형(strain)에 대한 기본개념 및 법칙을

민 경 덕

지구의 내부는 지진파 연구에 의해 층상구조를 가지고 있음이 밝혀졌으며, 지표로부터 지각(crust), 맨틀(mantle), 외핵(outer core) 및 내핵(inner core)의 순서로 되어 있고, 구성물질의 물리적 성질의 차이에 의해 암석권(lithosphere), 연약권(asthenosphere), 중간권(mesosphere), 외핵 및 내핵으로 구분하기도 한다.[그림 1] 지구조학(tectonophysics)은 지구물리학(geophysics)의 여러 세부분야 중의 하나로서, 주로 지구의 층상구조 중 최외각에 해당하는 지각 또는 암석권의 변형, 구조, 운동과 같은 지각변형과 이를 야기하는 힘과 기구(mechanism)를 연구하는 학문분야이다.

생동하는 지구의 모습은 습곡, 단층, 절리, 조산대, 조륙대 등 지각에서 일어나는 다양한 지질현상의 결과를 통해서 관찰되며, 이 관찰결과는 원시지각이 형성된 이래로 지각변형의 원동력이 되는 힘이 지각내부에서 어떻게 생성되고 작용하여 일어났는가라는 지질과정을 규명할 수 있게 한다.

암석 또는 지층의 변형 형태

18세기의 학자들은 지층은 지표면에 거의 평행하게 수평으로 퇴적된다는 것을 알았으며, 19세기에 와서는 지층은 변형작용에 의해 경사되고 습곡되며, 단층에 의해 엇갈리는 것을 이해하고, 이러한 변형작용의 형태를 밝히기 위해 변형된 지층을 퇴적 당시의 수평층으로 복원하기도 하였다. 습곡구조와 절리 및 단층구조의 형태는 지층을 변형시킨 응력의 방향과 암석의 상대적인 강도에 의해 결정된다. 암석에 가해지는 힘이 임계점을 초과하면 어떤 지층은 습곡처럼 휘어지고, 어떤 것은 깨어지며, 어떤 것은 휘어진 다음에 깨어진다. 본 고에서는 상부지각에서 변형작용으로 인하여 생성되는 지질구조 중 가장 흔하고도 중요한 습곡, 절리 및 단층구조에 대해 알아보자.

그림 1. 지구의 층상구조

1. 습곡(fold)

퇴적층처럼 원래는 수평으로 놓여 있던 지층이 횡력이나 수직력에 의해 휘어진 것을 습곡이라 하며, 습곡구조는 층리면을 가지고 있는 암석에서 물결처럼 굴곡된 단면으로 흔히 볼 수 있다.[그림 2] 습곡이 위로 향하여 휘어진 것을 배사(anticline)라 하고, 이와는 반대로 아래로 향하여 휘어진 것을 향사(syncline)라고 한다.[그림 3] 습곡구조는 습곡층과 습곡축면의 경사에 따라 여러 가지 종류로 구분된다. 배사구조는 석유나 천연가스가 집적될 수 있는 구조 중의 하나이다.

그림 2. 습곡구조.

그림 3. 습곡축면이 수직이고, 양 날개(limb)가 서로 대칭인 향사구조와 배사구조.

2. 절리(joint)

절리란 암석이 깨어진 틈으로서, 틈을 경계로 양편의 암석괴가 알아볼 수 있을 정도의 상대적인 운동이 없는 것을 말한다.[그림 4] 절리구조는 모든 노두에서 볼 수 있는데, 어떤 곳에서는 방향성이나 규칙성이 없으나, 절리가 광역적인 특성을 보이거나 또는 서로 평행하게 발달하는 등의 규칙성을 보이면, 이들은 이들을 생성시킨 응력계의 균일성과 관계가 있다. 예를 들어 위에서 내려누르는 지층의 무게로 인하여 생기는 압력은 퇴적층 내에 한조의 절리를 생성시키며, 침식작용에 의해 위에서 누르는 힘이 제거되면서 생기는 압력의 감소는 또 다른 한조의 절리를 생성시킬 수 있다. 이와 같이 횡력, 장력 및 전단력은 독특한 절리계를 형성함으로서 절리생성 당시의 힘을 나타내주는 흔적을 암석이나 지층에 남기게 된다. 절리는 지하수의 유동, 마그마 관입의 통로, 산사태의 원인이 된다.

그림 4. 석회암층 내에 발달한 절리구조(단양 매포읍).

그림 5. 단층.

3. 단층(fault)

지각 중에 생긴 틈을 경계로 하여 그 양측의 암괴가 상대적으로 전이하여 어긋나면 이 틈을 단층이라 한다.[그림 5] 단층은 응력 하에서 암석의 깨어짐에 의해 형성되며, 지각의 상부(10 km 이내)에서 발달하는 것이 보통인데, 이보다 더 깊은 곳에서는 압쇄대가 형성되며, 그 사이에는 점이대가 발달한다. 단층은 단층면에 따른 상대적인 운동에 의해 역단층, 주향이동단층 및 정단층으로 구분되며, 이들은 지각에 작용하는 응력의 상태에 의해 결정된다.[그림6] 단층은 모든 암석 중에 생길 수 있으나, 화성암이나 변성암과 같은 괴상암석 중에서는 단층 양쪽의 암석의 차이가 발견되지 않는 경우가 많으므로 단층을 인식하기가 어려우며, 퇴적암에서는 단층 양쪽의 암석이 달라지는 경우가 많아서 인식이 쉽다. 단층운동은 지진을 일으키는 원인 중의 하나이며, 또한 습곡과 같이 석유의 집적구조 중의 하나이다.

역단층 주향이동단층 정단층

그림 6.단층의 종류와 응력과의 관계

암석 또는 지층의 변형 실험

습곡과 단층의 구조는 상부지각의 암석들이 받는 변형구조 중 가장 흔한 형태이다. 학자들은 강하고 딱딱한 암석들이 어떤 힘의 작용으로 습곡 되고 단층을 따라 부서지느냐 하는 문제를 놓고 오랫동안 고심하였다.

고온과 고압 하에서 암석을 변형시키는 실험은 지각 내에서 일어나는 변형작용과 관련된 여러 작용을 이해하는데 큰 도움을 준다. 그림 7은 원주상의 작은 대리석 표품에 대한 삼축 압축실험 결과로서, 표품주위는 지각 내의 임의의 점에서의 압력을 나타내는 봉압(confining pressure)이 걸려있고, 표품 상하방향으로 피스톤에 의해 응력을 작용시켰을 때의 암석의 변형상을 나타낸 것이다. 그림 7(가)는 변형받지 않은 원주상의 표품이며, 다른 두 표품은 상하응력에 의해 길이가 20 % 줄어든 변형된 표품이다. 그 중 (나)는 지각의 상부를 가정한 낮은 봉압하의 변형상으로서, 상하방향에서 ±30°되는 방향으로 균열군이 생긴 취성(brittle)변형 모양이며, (다)는 지각의 깊은 곳과 같은 높은 봉압 하에서의 변형상으로서, 표품은 매끈하게 변형되고 옆으로 팽창된 연성(ductile)변형 모양을 하고 있다. 만약, 위의 실험에 온도변화를 첨가했다면 암석이 뜨거워졌을 때 연성변형은 더 쉽게 일어났을 것이며, 또한 상하방향의 응력을 가하는 속도변화를 첨가했다면 속도가 늦을수록 연성변형이 더 잘 일어났을 것이다. 그림 8은 석회암과 사암 층으로 이루어진 두께 0.6 cm, 폭 3 cm, 길이 20 cm의 3층 구조에 대한 삼축 압축실험 결과로서, 봉압은 1 kbar이고 길이가 약 10 % 줄어든 변형된 표품이다. 그림 8(가)는 변형받지 않은 수평 3층 구조이고, 그림 (나)는 횡압력에 의해 위로 향하여 휘어진 배사 습곡구조이다.

이상의 변형실험에서와 같이 실험실에서 암석시료에 대한 지각 내의 온도와 압력 및 가해지는 힘의 속도 조건을 모사하는 삼축 압축실험에 의해 단층, 절리 및 습곡구조를 재현시킬 수 있으며, 이들 변형된 시료에 대한 실험조건 및 관찰자료를 해석함으로서 변형의 조건과 기구를 규명할 수 있다.

(가) (나) (다)

그림 7. 원주상 대리석의 압축 실험(Paterson, 1958).

그림 8. 습곡 실험 (Handin 외, 1976).

암석 또는 지층 변형의 역할적 해석

그림 9. 가는 막대의 끝에 작용하는 여러가지 힘에 따른 변형 형태.

Gilbert, G. K.는 1800년대 말에 지질학적 문제의 해결에 역학적인 해석 방법을 도입한 연구방법을 제시하였다. 다시 말해서 본 고의 1장에서 언급한 대로 노두에 나타나는 단층, 절리, 습곡 등의 지질구조에 대한 관찰과 기술 대신 그림 9에서와 같이 습곡을 일으킬 수 있는 힘을 유추함으로서 암석 또는 지층의 변형과 이를 야기하는 힘과 기구를 규명하고자 하였다. 그림 9(가)는 가는 막대의 왼쪽 끝을 고정시키고 오른쪽 끝에 막대 방향의 수평력을 가할 때 일어나는 아치(arch)모양의 휨구조를 나타내고, (나)는 오른쪽 끝에 막대에 수직되는 횡력을 가할 때 일어나는 휨현상을 나타내며, (다)는 오른쪽 끝에 수평력과 횡력을 동시에 가할 때 나타나는 휨현상으로서, 이는 (가)와 (나)를 복합한 휨구조가 된다. 이상에서와 같은 휨현상에 대해서 i) 왜 막대의 휨모양이 (가)에서와 같이 양 날개 부분은 직선이 되기도 하고 (다)에서와 같이 곡선 모양이 되는가? ii) 휨이 일어날 때의 외부조건은 무엇인가? iii) 휨이 일어날 때 막대의 물성은 탄성적인가? 소성적인가? 또는 점성적인가? iv) 휨은 왜 막대의 중앙부에 집중되어 일어나는가? 등의 질문이 있을 수 있다. 이와 같은 암석이나 지층의 변형에 관계되는 질문에 대한 답은 복잡할 뿐만 아니라 매우 다양할 수 있다.

본 고에서는 암석 또는 지층변형의 역학적 해석방법을 마그마(magma)관입에 의한 상부퇴적층의 변형에 대한 역학적 모형해석을 예로 들어 기술하고자 한다(민경덕과 김원영, 1977). 지각심부에서 마그마가 상부로 관입되면 상부 퇴적층이 변형되는데, 이는 상부 퇴적층의 하부 경계면에 마그마가 관입되는 힘에 의해 퇴적층 내에서는 응력(stress)이 변하게 됨으로서 일어나게 된다. 여기서는 상부 퇴적층은 균질등방이며, 응력과 변형은 2차원 탄성적인 관계를 갖는다고 가정한다. 따라서, 퇴적층의 두께와 폭, 구성암석의 물리적 성질, 작용하는 힘이나 변위(displacement)의 크기를 알면, 그 내부 응력분포의 고유한 양상(patern)을 알 수 있다. 이는 응력분포와 작용한 외력, 물질분자의 변위사이의 관계를 표시하는 역학적 법칙이 단 한가지 방법으로만 만족되기 때문이다.(Ramsay, 1967, p. 289)

고유한 응력분포의 양상을 알기 위해서 i) 지질학적으로 실제성이 있으며, 수학적 취급이 가능한 rheological elastic model을 설정하고, ii) 힘, 응력 및 변형(strain)에 대한 기본법칙과 고유한 경계조건을 만족시키는 응력 함수(stress function)의 해를 구하고, iii) 응력분포와 변위를 계산하여 도표로 나타내고, iv) 응력분포와 변위를 근거로 습곡, 단층 및 절리 등의 지질구조를 예측한다.

본 논고에 사용한 용어의 정의는 다음과 같다 (Timoshenko & Goodier, 1970).

σ_x, σ_y, σ_z: x, y, z 축에 평행하게 작용하는 수직응력 성분(normal stress component)

τ_xy, τ_yz, τ_xz : 전단응력 성분(shear stress component)

σ₁, σ₂, σ₃ : 각각 최대, 중간, 최소 주응력(maximum, intermediate and minimum principal stress)

u, v, w : 각각 x, y, z 축 방향으로의 변위성분

ε_x, ε_y, ε_z: x, y, z축 방향으로의 응력변형 성분(normal strain component)

γ_xy, γ_yz, γ_xz: 전단변형 성분(shear strain component)

E : Young's modulus

ν: Poisson's ratio

P(x): 마그마 압력 (magma pressure)

1. 마그마 관입에 대한 고찰

마그마의 관입은 지각구조 변형에 큰 영향을 미치는 요소이며, 조산운동에 수반되어 지하 수 내지 수십 km 혹은 지표 가까이 까지 관입하여 주위의 지층을 변형시키거나 모암을 변질시킨다. 이러한 지층의 변형과 모암의 변질은 관입하는 마그마의 크기, 모양, 화학성분 및 물리적 특성 등에 의해 좌우되며, 특히 구조적인 변형은 관입하는 마그마의 모양에 크게 좌우된다.

그림 10에서와 같이 관입암체를 Gilbert(1877)에 의한 이상적인 Laccolith로 생각하면, 마그마는 dike형태의 통로를 따라 상승하여 지층사이의 약한 부분이나 저항력이 더 강한 층에 이르러 옆으로 퍼져서 버섯모양의 형태를 나타내게 되며, 위에 놓인 퇴적층은 상승되어 휘어져서 습곡현상을 보여주며, 경우에 따라서는 절리와 단층현상도 나타난다.

마그마는 유체상태로서 그 압력은 정역학적이며, 따라서 Laccolith 표면에서 그 위의 지층을 향하여서는 어디에서나 수직으로 똑같은 압력을 가하고 있다(Johnson, 1970, p. 41). 이는 stock의 경우에도 동일하게 생각할 수 있다.

본 고에서는 마그마 관입에 수반되는 마그마 압력에 의한 상부 퇴적층의 변형을 역학적으로 해석하기 위해 관입체의 모양은 gate function 형이고, 마그마 압력은 위로 향하는 모델을 설정하였다.[그림 11]

그림 10. 이상적인 Laccolith.

그림 11. 마그마 관입 모델.

2. 힘, 응력 및 변형에 대한 기본 법칙 및 Airy stress function

3차원의 지질구조 중 습곡이나 단층과 같은 길이가 긴 구조의 문제는 임의의 단면에서의 응력분포 및 변위를 2차원에서의 탄성론을 적용하여 해석할 수 있으며, 해석과정도 훨씬 간단해진다(Johnson, 1970, p. 289). 따라서, 평면 응력변형에서 z축 방향의 응력변형(ε_z)은 0이므로 변위성분 u, v는 z축과 무관하며 x, y만이 되고, 응력변형 성분과 변위성분 사이에는

의 관계가 있다. 또한, Hooke의 법칙에 의해 응력변형 성분과 응력성분 사이에는

의 관계가 있다. 2차원에서 y축을 아래로 잡고 단위 부피당의 물체의 질량 (즉, 밀도)을 ρ라고 하면, 평형의 미분방정식은 다음과 같이 된다(Timoshenko and Goodier, 1970, p. 26-28).

주어진 힘을 받고 있는 물체 내의 응력상태를 결정하는 것은 탄성론의 기본문제이다. 2차원 문제에서 (1)식의 응력변형-변위의 방정식에서 응력변형 성분은 변형을 정의하는 연속 함수 u(x,y), v(x,y)로 표시되며, 따라서 세 응력변형 성분들은 서로 독립적이 아니고 연관되어 있다. 즉, (1)식의 각항을 x, y로 각각 미분하여 합해 주면

이 되고, 이를 compatibility condition이라 한다. 또한, 응력성분의 compatibility equation은 (2)식을 (4)식에 대입하고 (3)식의 평형의 미분방정식을 이용하면

(5)

이고, body force가 0이면, 즉 X = Y = 0 이면

(6)

이 된다 . 평형의 미분방정식, 경계조건 및 (6)식의 compatibility equation은 2차원 문제에서 응력분포를 결정하는데 충분한 system을 이루며, 그 해는 주어진 경계조건과 compatibility equation을 만족시키는 평형의 미분방정식(3)을 풀어서 얻을 수 있다. 이를 푸는 일반적인 방법 중의 하나로서 x와 y의 함수인 새로운 함수 φ(x,y)를 도입하는 것이며, 이 함수 φ(x ,y)를 Airy stress function이라 한다. φ(x,y)는 평형의 미분방정식으로부터 응력성분과는 다음과 같은 관계가 있다.

(7)

따라서, 평형의 미분방정식을 만족하는 (9)식으로부터 φ(x,y)에 대한 다양한 해를 얻을 수 있다. 그러나, 문제에서 요구되는 해는 compatibility equation을 동시에 만족시켜야 하므로 (7)식을 compatibility equation (6)식에 대입하면, 함수 φ(x,y)는 다음 식을 만족시켜야 함을 알 수 있다(Timoshenko and Goodier, 1970, p. 32).

따라서, 물체의 무게가 단지 body force만일 경우, 2차원 문제의 해는 주어진 경계조건을 만족시키는 (8)식의 biharmonic differential equation의 해를 구하는 것이 된다. 즉, φ(x,y)는 (8)식을 만족시키는 biharmonic function이며, 일반적으로 (7)식의 σ_x, σ_y, τ_xy를 취하여 적당한 φ(x,y)를 선택함으로써 경계면에서의 이론적인 응력분포를 결정한다. 2차원 문제의 해로 대수적 다항식(algebraic polynomial)을 택하거나, 또는 다른 방법으로 해를 취할 수 있으나 삼각다항식(trigonometric polynomial)을 취하는 것이 보다 유용하다(Filonenko-Borodich, 1965, p. 371)

식 (8)의 특수해는 변수분리법에 의해

이다. 여기서, K₁, K₂, A, B, C, D는 임의의 상수들이고, 경계조건에 의해 결정되어 진다.

3. 탄성모델 (Elastic Model)

그림 12. 탄성모델.

그림 13. 경계 조건

Laccolith 형태의 마그마 관입에 의한 상부 퇴적층의 변형에 대한 문제를 풀기 위해 두께가 2H이고, 폭이 2L인 지층 모델을 설정하고 x, y, z 세 축을 그림 12와 같이 잡으면, 지층은 z축 방향으로 무한히 길게 된다. 여기서 －H는 지표면, H는 지층의 하부 경계면, a는 마그마 반경, -P(x)는 지층의 하부 경계면에 수직하게 y축의 방향으로 작용하는 마그마 압력이다.[그림 12]

(1) 탄성모델의 경계조건

첫째, 지표상부에 있는 공기는 강성율이 0이므로 지표에서의 전단응력 τ_x_y는 어디에서나 0이다. 다음으로, 지표면에 내려 누르는 수직압력은 대기압의 수직성분이며, 이는 지각 내의 내부응력(internal stress)에 비해 매우 작은 값으로서 무시할 수 있다. 이와 같이 하여 지각표면에서의 전단응력과 수직응력에 대한 두 경계 조건이 결정된다.

둘째, 지층 하부 경계면에서 마그마 압력이 작용하는 범위(x=±a)는 유체 마그마와 지층 사이의 마찰력이 작용하지 않는 접촉면이므로 전단응력 τ_x_y는 0이다. 다음으로 수직응력은 마그마 압력 -P(x)이다.

셋째, 지층모델의 중심(x＝0)과 양 끝단면(x＝±L)에서는 회전이 없으므로 τ_x_y는 0이다.

위의 경계 조건들을 요약하여 도식화하면 그림 13과 같고, 수식화 하면 다음과 같다.

① y＝－H (지표에서) ; σ_y(x, －H)＝0, τ_xy(x, －H)＝0

② y＝H ( 지하 경계면에서) ; σ_y(x, H)＝－P(x)

여기서

③ x＝0 및 x＝±L에서 τ_xy(0, y)＝0, τ_xy(±L, y)＝0

넷째, 지각 내부의 압력 분포는 일반적으로 중력가속도와 상부 지층의 두께와 밀도의 영향을 받으며, 따라서 깊이에 따라 증가한다. 즉, dp＝gρ dy이다. 여기서, g 는 중력가속도 (9.8 m/sec² ), ρ는 지각 구성암석의 밀도 dy는 지표로부터의 심도 즉 지층의 두께이다 . 따라서, 두께 2 km인 지층 하부의 압력 이다. 관입 마그마가 상부 지층을 밀어 올리는 힘은 마그마 압력 P이고, 이 값은 상부 지층이 지구중심을 향해 작용하는 수직압력 (0.588 kilobar)보다 커야한다(Bullen, 1965, p. 226-239).

(2) 경계조건을 만족시키는 Airy stress function

Airy stress function φ(x, y)의 임의의 상수들 K₁, K₂, An, Bn, Cn, Dn은 앞의 경계조건에 의해 구해진다. 앞의 경계조건 ③ 으로부터

이며, 윗 식은 상수 K₁＝1, K₂＝0, 과 같이 취하면 만족된다. 여기서, n은 양의 정수이다. 따라서, 함수 φ(x, y )를 특수해의 형태로 나타내면

이다. 남은 임의의 상수 A_n, B_n, C_n, D_n을 구하기 위해 먼저 (10)식을 응력성분과 φ(x, y)와의 관계를 나타내는 (7)식에 대입하고 정리하면 다음과 같다.

경계조건 ①과 ②의 τ_xy(x, －H)＝0, τ_xy(x, H)＝0을 (13)식에 대입하여 정리하면

이다. 또한, 경계조건 σ_y(x, －H)＝0, σ_y(x, H)＝－P(x)를 (12)식에 대입하면

이다. －P(x)를 주기가 T＝2L인 Fourier 급수로 전개하면

이고, (14)식의 두 번째 식을 orthogonality를 이용하기 위해 양변에 cosλmxdx를 곱하고 다시 쓰면

식 (15)를 (16)식의 우측항에 대입하고, 그 결과를 (16)식과 (14)식에 대입하면

따라서, 주어진 경계조건을 만족시키는 임의의 상수 An, Bn, Cn, Dn은 (13)식과 (17)식을 연립하여 풀어서 다음과 같다.

(18)

따라서, 위의 상수들을 (10)식에 대입하여 정리하면, 응력함수 φ(x, y)는

(3) 응력성분

경계조건을 만족시키는 (18)식의 임의의 상수들과 (19)식의 응력함수로부터 응력성분 σ_x, σ_y, τ_xy는 (11), (12) 및 (13) 식으로부터 구할 수 있다. 즉,

여기서

(4) 변위성분

경계조건을 만족시키는 변위성분 u(x, y) 및 v(x, y)는 (1)식과 (2)식의 응력성분과 응력변형 성분의 관계에 (20), (21) 및 (22)식을 대입하고, 각각 x, y에 대하여 적분함으로써 얻을 수 있다. 즉

4. 수치해석

수치해석을 위하여 지층 모델의 크기를 두께(2H)는 2 km, 폭(2L)은 12 km, 관입 마그마의 반경(a)을 3 km로 하였으며, 관입 마그마의 압력(P₀)은 1 kilobar(＝1×10⁸N/m²)로 하였다. 또한, Young's modulus(E)는 E＝1×10¹⁰ newton/m², poisson's ratio(ν)는 0.25로 하였다.

설정된 탄성모델(그림 12)은 x축에 대해 대칭이므로 x의 (+)방향만을 취하여, x축 방향으로 0.5 km, y축 방향으로는 0.25 km의 간격으로 격자점을 잡고, 각 점에서의 변위와 응력분포를 계산하였다.

(1) 주응력 궤도곡선 (principal stress trajectories)

변형을 받은 지층 내부의 응력분포는 서로 직각인 한쌍의 주응력 궤도곡선으로 나타낼 수 있다. 그중 하나는 최대 주응력인 σ₁의 방향을, 다른 하나는 최소 주응력인 σ₃의 방향을 나타내는 곡선이다.

임의의 한 점에서의 σ₁과 σ₃의 방향은 이들 주응력 궤도곡선에 접선 방향이며, 다음 식으로부터 구할 수 있다(Timoshenko & Goodier, 1970, p. 24).

여기서, β는 x축의 (+)방향과 주응력이 이루는 각이다. 위의 (25)식에 경계조건에 의해 이미 결정된 (20), (21) 및 (22)식의 응력성분을 대입하고 정리하면

이 된다.

식 (26)에서 볼 수 있는 바와 같이 주응력 궤도곡선은 Young's modulus (E) 및 Poisson's ratio(ν)에는 무관하고, 단지 지층의 폭(2L)과 두께(2H)의 영향만을 받는다. 각 점에서의 β의 값은 (26)식에 의해 n＝5까지 계산하였다.

계산된 각 점에서의 β의 값을 그리면, 지층 내부의 응력 궤도곡선은 그림 14와 같으며, σ₁을 나타내는 곡선은 마그마 압력이 작용하는 경계면 부근에 밀집되어 나타나고, σ₃를 나타내는 곡선은 커다란 호를 그리며 분포한다.

(2) 변위분포

변형을 받는 지층에서 어느 일점의 x방향의 변위성분u(x, y)와 y축 방향의 변위성분 ν(x, y)는 (23), (24)식으로부터 구해진다. 앞의 응력분포를 구할 때와 같은 방법으로 각 점의 변위성분들을 n＝5까지 계산하였다. 여기서, 변위에 영향을 주는 요소는 변위에 관한 (24), (25)식에서 알 수 있는 바와 같이 Young's modulus (E), Poisson's ratio (υ), 지층의 두께와 폭 및 마그마 압력(P₀)이다. 계산된 각 점에서의 변위성분은 변위 벡타(displacement vector)로 나타낼 수 있으며, 각 변위 벡타의 방향과 길이는 각 점에서의 변위 방향과 크기를 나타낸다.

각 점에서 x축 방향으로의 변위성분인 변위의 수평성분 u(x, y)를 변위벡타로 나타내면 그림 15와 같다. 변위의 수평성분의 크기는 마그마 압력이 작용하는 경계면 ±a에서 가장 크며, 중심 x＝0과 양끝 x＝±L에서 가장 작다. 또한, 지표면 (y＝－H)과 지층하부 경계면(y＝H)에서 가장 크며, 지층의 중간(y＝0)을 향해 점점 작아진다. 또한, 변위의 방향은 지층 하부에서는 압력 P₀가 작용하는 안쪽으로 향하며, 지층 상부에서는 압력 P₀가 작용하는 바깥쪽으로 향한다.

각 점의 y축 방향으로의 변위성분인 변위의 수직성분 υ(x, y)를 변위벡타로 나타내면 그림 16과 같다. 변위의 수직성분의 크기는 ±a에서 가장 작고, 양끝 x＝±L과 중심(x＝0)에서 가장 크며, ±a를 향해 점점 작아진다. 또한, 변위의 방향은 ±a를 기준으로 하여 그 안쪽에서는 지표를 향하며, 그 바깥쪽에서는 지층 하부 경계면을 향한다.

변위의 수평성분과 수직성분을 벡타 합성하여 지층 내의 총변위 분포를 나타낼 수 있으며, 이는 그림 17과 같다. 각 점에서 총변위성분을 연결한 곡선은 그림에서와 같이 습곡을 보여준다. 습곡은 배사축이 중심 x＝0에 위치하고, 향사축이 양끝 x=±L에 위치하는 대칭습곡이며, 날개의 경사는 변위의 수직성분의 변화가 적으므로 극히 완만하다.

그림 14. 주응력 궤도 곡선

그림 15. 변위의 수직 성분

그림 16. 변위의 수직 성분

그림 17.층변위 분포

5. 모델내의 예상 지질구조

(1) 균열의 발달

지각에 응력이 작용하여 내부 물질이 결합력을 잃고, 어떤 면을 따라 서로 분리되면 균열이 발달하게 되고 파열이 일어난다. 생성된 균열의 크기는 현미경 하에서 관찰되는 소규모에서, 수 백 km에 달하는 단층과 같이 나타나기도 하며, 균열면 양쪽의 분리가 최대 주응력과 임의의 각 (일반적으로 20∼30°을 이루는 하나 또는 한쌍의 전단균열의 형태로 발달되기도 한다.

균열면을 따라서 암석괴의 이동이 전혀 없거나, 극히 적으면 이것은 절리로 나타나고, 전단균열을 따라 상대적인 운동이 일어나면 단층과 같은 지질구조가 발달하게 된다.

① 인장균열 (extension fracture)

봉압이 0인 상태하에 있는 육면체에 최대 압축 주응력(σ₁)이 수직하게 작용하고, 최소 인장 주응력(σ₃)이 수평으로 작용하면, 인장균열이 σ₁에 평행하고 σ₃에 수직하게 발달한다. 그러나, 실제 지각에서는 어느 곳에서나 봉압이 작용하므로 인장균열은 이미 발달된 전단균열이나 미세균열(crack)에 수반되어 발달한다(Badgley, 1965, p. 10).

수치해석 결과로 얻어진 응력분포[그림 14]에 대해서도 인장균열의 발달이 예상되며, 이 예상 균열은 σ₁에 평행하게 x＝±a 부근에 밀집되어 발달한다.[그림 18] 왜냐하면, 이곳에는 응력이 밀집되어 있기 때문이다.

② 전단균열 (shear fracture)

최대 압축 주응력(σ₁)이 지층에 수직하게 작용하면 전단균열은 전단응력 τ_n이 가장 크고, 동시에 수직응력 σ_n이 가장 작은 면에 평행하게 발달한다. 즉, σ₁과 전단면이 이루는 각 θ＝45°일 때 전단응력 τ_n은 최대가 되고, 이 면을 따라 균열이 일어나게 된다.

그러나, 실제로는 이 각 θ는 45°보다 적은 값이 된다. 왜냐하면 실제 균열이 일어나는 각 θ는 물질의 결합력과 내부 마찰계수에 좌우되기 때문이다. 각 암석에 대한 각 θ, 내부마찰각 φ 및 전단강도 등은 봉압 하에서 압축 강도 시험에 의해 얻어지며 (Handin & Hager, 1957), 시험결과 각 θ는 암석에 따라 각각 다르나 평균 약 30°정도이고, 다음 식으로 나타낼 수 있다.

따라서, 수치해석에서 구한 응력분포에 대해 예상되는 전단균열을 그려보면 σ₁에 30°를 이루는 면을 따라서 발달된다.[그림 18] 또한, 전단균열을 따라 암석괴의 이동이 있을 경우에는 역단층, 주향이동단층 및 정단층의 발달이 예상된다. 그림 18의 예상 균열에서 볼 수 있는 예상 단층 중 하나는 정단층으로 ±a 부근에서 경사가 급하고 중심과 양끝 (±L)을 향하여 경사가 완만해진다. 또 다른 하나는 고각도 역단층으로 경사는 비교적 변화가 적다.

(2) 습곡의 발달

변위분포(그림 15, 16, 17)에서와 같이 마그마 관입에 의한 압력 P₀에 의해 지층은 습곡을 받는다. 습곡은 그림 19와 같이 배사구조이며, 배사축은 지층모델의 중심인 x＝0이고, 배사축을 중심으로 양쪽 날개가 서로 반대방향으로 경사하는 대칭습곡을 보여준다. 또한, 향사축은 모델의 양쪽 끝인 ±L에 놓인다. 날개의 경사는 변위의 수직성분의 변화가 적으므로 완만하고, 관입 마그마의 압력 P₀의 크기에 따라 경사도가 좌우된다.

그림 18. 예상 균열.

그림 19.습곡의 발달

참 고 문 헌

[1] 민경덕, 김원영, 광산지질 10 (1), 37-48 (1997).

[2] Bullen, K. E., An introduction to the theory of seismology, 3rd ed. (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1965).

[3] Gilbert, G. K., Report on the geology of the Henry Mountains, U. S. Geogr. and Geol. Surv., Rocky Mt. Region (1877), p. 160.

[4] Handin, J. and Hager, R. V., Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geol. 41, 1 (1957).

[5] Handin, J., Friedman, M., Min, K. D. and Pattison, L. J., Bull. Geol. Soc. Amer. 87, 1035-1048 (1976).

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민경덕 교수는 미국 텍사스 A&M대학교에서 박사학위를 취득한 후 1976년부터 현재까지 연세대 지구시스템과학과 조교수, 부교수, 교수로 1977년부터 현재까지 대한자원환경지질학회 총무, 재무, 편집위원장, 부회장, 회장, 평의원, 1983년부터 현재까지 한국물리학회 정회원, 1989년부터 90년, 1995년부터 97년까지 한국과학재단 연구개발심의위원, 1994년부터 현재까지 연세대학교 한국과학기술 한림원 정회원, 1995년부터 현재까지 연세대학교 지하수토양환경연구소 소장으로 재직 중이다.
(min@yonsim.yonsei.ac.kr)