반사와 굴절법칙의 보편성과 그 열매

강 익 주

미국 Southern Iliinois 대학
물리학과 명예교수

처음 우리는 기하광학에서 빛의 반사법칙과 굴절법칙을 배운다. 두 유전물질의 경계면에서 광의 일부는 반사하고 나머지는 굴절하되 반사법칙과 굴절법칙을 따라서 전파해 나간다고 한다. 그 뒤 파동광학에서는 전자파의 전자장의 경계조건을 만족하려면 우선 두 매질의 경계면에서 입사파, 반사파와 굴절파의 위상이 같아야한다는 필요조건을 들고 나와서 반사 법칙과 굴절 법칙을 유도한다. 이 경우 두 유전체는 전기 부도체이며 전자파에 대하여 투명하다는 가정을 했던 것 뿐이다.

이제 반사법칙과 굴절법칙의 내용을 살펴보자. 먼저 반사 법칙은 그 내용이 두 가지인데 첫째는 입사각과 반사각이 같다는 것이고 둘째는 입사선, 입사점에서 세운 경계면의 법선과 반사선 셋이 모두 같은 평면 안에 있다는 것이다. 굴절 법칙도 그 내용이 두 가지 되어있다. 입사각을 , 반사각을 , 제 1 매질에서의 광속도를 , 그리고 제 2 매질에서의 광속도를 로 표기하면

의 관계를 만족한다는 것이 그 하나이고, 입사광선 법선 그리고 굴절광선 셋이 같은 평면 안에 있다는 것이 그 둘째이다.

이 두 법칙은 Fermat 원리 곧 광은 출발점에 종점까지 어떤 구속 조건을 만족하면서 전파할 때 최단 시간이 걸리는 광로를 택한다는 원리를 써서도 유도 할 수 있다. 이것은 물리학의 가장 기본되는 자연 법칙인 최소작용 원리에 해당하는 것이다. 작은 입자가 질량이 대단히 큰 질점계의 표면에 부딪힐 때 탄성 충돌로 간주하고 운동량과 에너지 보존 법칙을 적용하면 반사 법칙을 쉽게 얻을 수 있다. 여기서 다만 작은 입자는 질점이라 큰 질량계의 경계표면에 부딪힐 때 마찰은 있을 수 없고 질점계의 경계표면에는 아무 이상을 가져오지 않는다고 가정하는 것이다. 이때 반사법칙은 작은 입자의 에너지 양에는 상관없이 성립한다. 따라서, 운동량의 크기와 방향에 관계없이 반사 법칙을 만족하여 산란하는 것을 본다. 이 점은 광의 반사법칙이 입사광선의 방향, 입사광의 진동수에 무관하다는 것과 잘 비교된다.

파동광학의 논리는 빛에 한한 것이 아니고 모든 파동에 적용될 수 있다. 다시 말하면 두 매질의 경계면에서 파동이 가진 운동량이라든가 에너지 흐름이 연속되려면 우선 그 입사파, 반사파 그리고 굴절파들의 위상이 경계면에서 같아야 하는 것이 필요 조건이므로 파동 광학에서 얻은 결과와 마찬가지로 반사 법칙과 굴절 법칙을 얻게 된다. 다만 파동이 한 매질에서 그 다음 매질로 전파될 때 에너지의 손실이 없다는 가정은 파동 광학에서와 같다.

이와 관련해서 Compton 효과, 곧 광자와 전자의 충돌을 상기해보자. 산란광자의 파장, , 과 입사광자의 파장 의 차이, , 는

로 주어진다. 여기서 는 산란각이며 는 Planck 상수, 은 전자의 정지 질량, 그리고 c는 진공 중의 광속도를 가르킨다. 여기서 m이 대단히 큰 경우, 로 접근하는 것을 볼 때 광자의 에너지가 보존되려면 충돌 대상 입자의 질량이 무한히 크면 되는 것이다.

테니스 공이 테니스 장 바닥에 충돌할 때 또 탁구공이 탁구대 평면에 내려 칠 때 그 scale로 보아 작은 공들의 에너지 보존이 이루어진다고 할 수 있다. 물론 이들 공이 자축 회전을 하면 충돌하는 바닥에서 마찰을 일으키고 따라서 에너지 손실을 가져와 반사 법칙이 완전히는 만족되지 않게 되고 또 그런 것들이 이들 경기의 묘미일 것이 분명하다. 야구 방망이로 야구공을 칠 때도, 공중에 뜬 축구공을 헤딩할 때에도 근사적으로 반사 법칙이 만족되고 농구공이 농구대의 뒤 판에 맞고 바스켓으로 들어갈 때도 거의 반사 법칙을 만족한다.

여기에서 강조하는 것은 에너지 손실이 무시할 정도로 적은 경우 모든 파동은 반사 법칙과 굴절 법칙을 근사적으로 만족한다는 것이다. 이 보편성으로 말미암아 수파(water waves)나 음파(sound wave) 또는 대기의 밀도파(air density wave)도 파동인 것은 마찬가지이므로 이들 파동도 반사 법칙과 굴절 법칙을 만족하면서 전파하게 마련이다.

바다의 밀물파가 언제나 해안선 생긴 대로 곳곳마다 해안선에 수직으로 몰아오는 것을 굴절 법칙으로 설명하고 있다. 수파의 전파속도 는 로 이루어지는데 g는 지구 중력 가속도이고 h는 물의 깊이를 가리킨다. 따라서 굴절의 법칙은

로 되어 해안선으로 가까이 갈수록 ≪ 이며, 따라서 ≪ 이 되어 결국 , 곧 해안선에 수직으로 밀물파가 들어 닥치게 된다. 이제 태풍계를 한 저기압 파속(wave packet)으로 해석하여 여러 가지 긴 파장들의 공기 밀도파의 모임이라 보면, 이 태풍의 전파 방향이 굴절법칙을 만족할 것이다. 이때 파동의 속도, , 는 단열과정의 편미분을 써서 로 주어진다. 단열과정의 경우 압력 P와 밀도 는

의 관계를 가지므로 전파속도는 음속도인

로 주어진다. 여기 은 기체상수, 는 절대온도이며 은 공기의 "분자량"에 해당한다. 이리하여 등온선의 매질의 경계선으로 해석하여 굴절 법칙은

로 된다. 태풍이 남쪽 바다에서 대륙을 향하여 북상할 때는 대부분 인지라 북상하는 태풍의 진로는

위 그림의 화살 방향, 곧 북동쪽으로 나가는 것을 볼 수 있다. 천기도의 등온선 대신 등압선을 이용해서도, 태풍의 진로를 예측 할 수 있다. 곧 음속도는

이다. 따라서 굴절 법칙은 다음 관계식

으로 변형된다.

위에 기술한 북상하는 태풍의 경로는 등압선을 경계면으로 보고 굴절 법칙을 적용하면 등온선에서 얻은 경로와 유사한 것을 예측할 수 있다.

현실적으로 보면 등온선도나 등압선도가 시시각각으로 변화하고 그렇게 정확히 그릴 수 없는 것을 감안하면 두 방법으로 예측을 하고 그 결과가 일치하면 그 예고가 더 믿을 수 있다고 할 수 있겠다.

반사 법칙과 굴절 법칙은 파동의 에너지의 손실이 무시할 수 있을 정도로 적을 때 성립함을 알기 때문에 태풍의 현 순간적인 진로를 예측 할 수 있다. 두 법칙은 진동수와 파동의 진폭에 무관하므로 파속의 구성요원 하나하나 파동에 똑같이 적용될 수 있으므로 결국 파속에 적용될 수 있다고 강조하고 싶다. 더욱 태풍의 진로가 등온선의 변화로 꽤 큰 입사각을 만들 때에는 소위 전 반사가 일어나서 태풍의 진로가 갑자기 크게 바뀌는 것을 볼 수 있다.

끝으로 규모가 적은 회오리바람이나 회오리 수면파가 산재해 있을 때 굴절 법칙을 적용하면 그것이 서로 합쳐짐을 알 수 있고 따라서 각운동량의 보존 법칙에 의하여 두 개의 파동이 합쳐 하나의 큰 것으로 성장하는 것을 이해 할 수 있다. 더욱 나가서는, 토네이도의 성장과정 내지 태풍 또는 허리케인(Hurricane)의 성장도 엿볼 수 있다. 이리하여 반사 법칙과 굴절 법칙은 적용되는 경우가 참으로 많아서 그 보편성에 감탄할 따름이다.

강익주 교수는 연세대학교 물리학과 학부를 졸업하여 학사를 받은 후에 연세대학교 대학원을 진학하여 석사를 마치고 미국으로 유학을 갔다. 미국 Northwestern University에서 Atomic Physics 분야의 연구로 박사학위를 수여 받았다. 미국 South Illinois 대학에서 교수, 학과장을 거쳐 현재 명예교수이다. 1984년에는 1년간 한국으로 와서 연세대학교 물리학과에 방문교수로 재직하였으며, 1988년에는 1년간 전북대학교 물리학과에서 방문교수로 활약하였다. 주소는 Emeritus Professor of Physics, Southern Illinois University Edwardsville, Edwardsville, IL 62025-1654 U.S.A이다. 한글로는 전자우편 연락이 쉽지 않아서 학위년도는 생략되었으며, 필요시 우편주소로 직접 연락하여 알아보면 된다.