의 정수배 즉,
에 한정되어야 한다는 것이었다. 이는 모든 물리량이 연속적이어야 한다는 당시의 믿음에 모순되는 것처럼 보였다.
한 창 우
들어가는 글
양자역학은 19세기 말과 20세기 초에 고전물리학의 한계를 극복하는 과정에서 생겨났으며, 현재 물리학 전체에 대한 밑바탕을 이루고 있다. 물리학과에서는 양자역학이 역학, 전자기학과 함께 필수과목으로 제공되어왔다. 양자역학은 직접경험영역에서 벗어나 있는 분야를 주로 취급하기 때문에 이해하기 어려운 면이 있다. 그러나 양자역학에 대한 지식이 없이는 물리학을 제대로 공부하고 응용하는 것이 현실적으로 불가능하기 때문에 반드시 배워야 한다.
양자역학 교육의 내용을 가장 잘 반영하는 것이 여러 교과서들인 것 같다. 양자역학을 개발하는데 직접 주도적인 역할을 했던 물리학자들의 저서들을[1,2] 비롯하여 여러 교과서 및 참고문헌들이 출판되어 있으며[3-46] 하나하나 모두 열거하는 것은 현실적으로 어렵다. 우리나라에서도 양자역학교육이 수십년 지속된 결과 적지 않은 교재들이 출판되었다.[47-51]
어떤 의미에서는 양자역학 교육이 외국어의 습득과정에 비유될 수도 있다. 영어교육 또한 문법만으로 되는 것이 아니고 여러 종류의 문장 그리고 영미문화에 익숙해져야 하는데, 이것들을 모두 다 알 수는 없는 노릇이다. 우리말 또한 아무도 모두 알고있지는 않다. 이런 맥락에서, "양자역학을 이해하고 있는 사람은 아무도 없다."는 식의 말은 대단한 의미가 있는 것 같지는 않다. 또한 이해하고 있다고 생각하는 것도 단지 어느 정도 익숙한 것 외에는 아무 것도 아닐 수도 있다.
경우에 따라 형편에 따라, 여러 가지 방식으로 양자역학의 교육이 제공되고 있을 것인데, 대표적인 교재 가운데 하나인 S. Gasiorowicz 책을 기본으로 하여, 양자역학 교육의 내용이 어떤 식으로 구성되어 있는가에 대하여 간략하게 살펴보기로 한다.
고전물리학의 한계
19세기 말과 20세기 초에 걸쳐서 고전물리학의 체계 안에서는 설명할 수 없는 현상들이 여럿 발견되었다. 그것들 가운데 양자역학의 형성과 밀접한 관계가 있는 것들은 다음과 같다.
(1) 흑체복사(black body radiation); 1900년 10월 19일, 흑체복사 스펙트럼에 대한 이론적인 공식이 플랑크에 의하여 발표되었는데, 이 공식이 내포하는 것은 특정진동수의 빛이 방출되거나 흡수될 때 주고받을 수 있는 에너지 E가 특정한 값, 즉 작용양자 h 곱하기 진동수
의 정수배 즉,
에 한정되어야 한다는 것이었다. 이는 모든 물리량이 연속적이어야 한다는 당시의 믿음에 모순되는 것처럼 보였다.
(2) 광전효과(photoelectric effect); 1905년 아인슈타인은 '물리연감'에 '빛의 창조와 변화에 관한 과학적 관점에 대하여'라는 논문을 발표했는데, 그 요점은 다음과 같다. 빛은 광자의 집합이며 각 광자의 에너지는
로 표현된다. 이것은 빛의 에너지 자체가 불연속적이라는 주장으로 플랑크의 복사공식에 대하여 정확한 해석을 제공하였다. 또한 파동이 입자성을 갖는다는 주장이기도 하다.
(3) 컴프턴 효과(Compton effect); X선을 금속박에 쪼이면 산란 스펙트럼을 관측할 수 있다. 실험결과 중에는 고전적인 전자기이론으로는 설명할 수 없는 것들이 발견되었다. 광자가 p＝
의 운동량을 갖는다고 가정하면 실험결과를 설명할 수 있다.
(4) 전자회절(electron diffraction); 1927년에 행해진 데이비슨-거머의 실험에서 보강간섭에 해당하는 각도로부터 얻어진 파장은 드 브로이의 이론과 잘 들어맞는데, 고전물리학으로는 이해하기 어렵다.
(5) 보어의 원자모형; 1913년 덴마크의 보어는 러더퍼드 모형의 난점에 대한 해결책으로 수소원자의 궤도에 대한 다음의 양자화조건을 제시했다.
1. 임의의 원궤도가 모두 가능한 것이 아니고, 각 궤도에 대응하는 작용이 플랑크의 작용양자 h의 양의 정수배가 되는 경우에만 가능한 궤도가 될 수 있다. 더구나 이들의 궤도에 있는 전자는 비록 가속하고 있더라도 복사하지 않는다.
2. 전자는 허용된 궤도 사이에서만 불연속적으로 전이를 할 수 있고, 이 때 그 에너지의 차 E－E'은 다음 진동수를 갖는 복사의 형태로 나타난다.
또한 원자는 복사를 흡수하고, 그 결과로 전자가 높은 에너지의 궤도로 전이할 수 있다.
보어는 이 가정들을 수소원자의 원궤도에 적용하여 복사스펙트럼에 대한 표현을 얻을 수 있었다. 그러나 위의 가정들에 대한 근거가 제시되지는 않았다.
슈뢰딩어방정식
1. 슈뢰딩어 방정식으로 가는 길
드 브로이에 의하여 물질파가 도입되자, 그 물질파를 기술하는 파동방정식에 대한 필요성이 대두되었다. 슈뢰딩어가 이 일을 해냈으며, 슈뢰딩어 방정식으로 가는 길은 다음과 같다.
일차원에서 평면파를 기술하는 파동함수는, 파수 k와 각진동수 ω가 플랑크-아인슈타인 공식
와 드 브로이 공식
즉
에 의하여 운동량 p와 에너지 E로 교체되면
가 된다. 유한한 길이를 갖는 파동묶음은 평면파의 중첩
로 나타내지는데,
이 되어, 일차원에서의 슈뢰딩어 방정식이다. 위의 논의를 3차원으로 확장하고, 해밀토니안을 이용하여 간단하게 표현하면
가 된다.
여기서 한가지 유의할 점은 위의 과정이 슈뢰딩어 방정식에 대한 유도는 아니라는 것이다. 방정식의 도입 내지는 제작과정에 해당한다. 위의 슈뢰딩어 방정식은 수학적으로 분산방정식에 해당하며, 함수
의 시간에 대한 변화를 기술한다. 시간미분 앞에 붙어있는 복소인자 i 때문에 풀이는 파동함수의 형태를 갖는다. 또한 파동함수의 절대값제곱은 입자가 발견될 확률밀도로 해석된다.
2. 일차원문제의 풀이
일차원 상자, 퍼텐셜 계단, 네모 우물 퍼텐셜, 퍼텐셜 장벽, 델타함수 퍼텐셜 등에 대하여 민시간 슈뢰딩어 방정식을 풀어본다. 이를 통하여, 고유값, 고유함수, 그리고 파동함수의 고유함수로의 전개 등에 대한 개념을 익힌다. 또한, 퍼텐셜 장벽에 대한 투과확률도 구해지는데, 이는
입자의 방출, 박막을 통한 전자의 투과 등에 직접 응용할 수 있다.
조화 진동자의 문제는 고전역학에 있어서나 양자역학에서나 모두 중요하다. 그 이유는 미소진동은 조화진동으로 근사될 수 있기 때문이다. 조화진동자 문제는 대수적인 방법 그리고 해석적인 방법에 의하여 풀 수 있으며 동일한 결과에 도달한다. 그 에너지 고유값은 가 된다.
양자역학의 구성요소들
양자역학의 근간을 이루는 몇몇 구성요소들에 대하여 체계적으로 살펴본다. 계의 상태를 기술하는 켓벡터, 물리량에 대응되는 에르미트 연산자 등에 대하여 논한다. 측정, 그리고 반복측정에 관련된 가환연산자계가 논의되며, 계의 시간변화를 나타내는 수단으로 슈뢰딩어 묘사와 하이젠베르크 묘사가 제시된다.
1. 켓과 브라 그리고 파동함수
(1) 파동함수와 브라-켓
임의의 파동함수들 사이의 스칼라 곱은
이 된다. 여기서
를 둘로 쪼개어
를 브라벡터(bra vector)
를 켓벡터(ket vector)라 부르기로 한다. 켓벡터
는 '
라는 이름의 상태'를 표현하는 것으로 정의하며
는
의 에르미트 공액인 것으로 취급한다.[2,11]
켓-브라를 이용하면, 파동함수의 고유함수에 의한 전개, 직교틀맞춤 조건, 전개계수, 완전성 공식 등이 간편하게 표현될 수 있다.
(2) 브라-켓으로서의 파동함수
위치공간에서의 기본 켓은 x라는 위치에 있음을 나타내는 상태
로 나타내진다. 스펙트럼이 연속적이므로 완전성 공식은
로 나타나며, 직교틀맞춤조건은
가 된다. 완전성 공식이 파동함수와 자기자신과의 스칼라 곱에 대입되면
가 되는데
의 대응이 성립한다. 한편
로 보면 파동함수는 기본 켓
에 대한 전개계수임을 알 수 있다.
유사한 논의가 운동량 나툼, 에너지 나툼 등에도 적용될 수 있다.
2. 에르미트 연산자
물리량은 에르미트 연산자로 나타내진다. 어떤 연산자 R이 임의의 상태
에 대하여 〈
｜R｜
〉＝〈
｜R｜
〉*을 만족하면 R을 에르미트 연산자라 부른다. 즉 에르미트 연산자란 기대값이 실수이고 고유값도 실수인 연산자들이며, R†＝R을 만족한다. 또한 에르미트 연산자의 고유벡터들은 고유값이 다른 경우 직교한다. 그리고 에르미트 연산자의 고유함수는 완전계를 이루며 임의의 상태는 고유상태들의 선형결합으로 표현된다.
3. 측정과 가환연산자계
(1) 측정
어떤 물리량에 대한 측정을 행하면, 그 물리량에 대응하는 에르미트 연산자의 고유값 중 하나가 측정값으로 나오고, 측정 후의 상태는 측정값을 고유값으로 갖는 고유상태에 귀착된다. 즉, 측정 전의 상태가
로 주어지는 경우, 측정값이
로 나오면 측정 후의 상태는
로 표현된다.
그리고 똑같이 준비된 계에 대하여 여러 번 측정했을 때 측정값은
에 비례하는 분포를 갖는다.
(2) 가환 관측량의 완전계
동시고유함수의 완전계가 존재하면 연산자는 교환가능하고, 두 연산자가 가환이면 동시고유함수의 완전계가 존재한다. 이러한 성질은 가환인 연산자의 수가 둘 이상인 경우에도 성립하는데, 함수계가 공통의 고유함수계가 되는 서로 가환인 최대의 연산자계 A, B, C, ···, M을 가환관측량의 완전계라 부른다. 이 경우, 공통의 고유함수계는
...
를 만족한다. 여기서 a, b, c, ···, m는 한 체계에 대하여 얻을 수 있는 가능한 최대의 정보이다.
(3) 가환 관측량들에 대한 일련의 측정
가환 관측량들에 대한 고유함수들로 임의의 상태에 대한 파동함수를 나타내면
가 된다. 관측량 A에 대한 측정을 하여
을 얻게 되면, 측정 후의 상태는
가 된다. A에 대한 측정 직후 B에 대한 측정을 하여 측정값으로
을 얻게 되면 측정 후의 상태는
가 된다. 이러한 과정이 반복되어 M에 대한 측정까지 마치게 되면
의 상태가 되며, 재측정의 경우(a', b', c', …, m')의 측정값을 주게 된다. 즉, 측정의 결과로 얻은 (a', b', c', …, m')을 통하여 계의 상태를 기술하는 것이 가능하다.
(4) 관측가능량들이 교환되지 않으면 측정에 불확정이 존재한다.
어떤 관측량 A에 대한 분산과 다른 관측량 B에 대한 분산의 곱은
이 된다. 여기에, A＝x, B＝p를 대입하면
즉, 위치-운동량 불확정관계식을 얻게 된다.
4. 계의 시간에 따른 변화
(1) 기대값의 시간에 따른 변화
어떤 연산자 A의 상태
에 대한 기댓값은
로 주어진다. 기대값의 시간변화는 시간에 대한 도함수로 표현되며,
가 된다.
(2) 슈뢰딩어 묘사와 하이젠베르크 묘사
슈뢰딩어 방정식의 형식적인 해는
로 나타내진다. 연산자 A의 기대값을 디락표기로 나타내면
이 된다. 여기서,
로 정의하면
로 쓸 수 있다.
연산자는 불변이고 계의 변화는 파동함수의 변화로 나타내진다는 관점이 슈뢰딩어 묘사이다. 한편 파동함수는 불변이고 계의 변화는 연산자의 시간변화로 나타내진다는 관점이 하이젠베르크 묘사인데, 슈뢰딩어 묘사와 하이젠베르크 묘사는 동등하다.
유용한 개념 및 방법론
1. 여러 입자 그리고 꼭같은 입자
(1) 여러 입자; 일반적으로는 여러 입자로 이루어진 계를 포괄적으로 다루어야 하는 경우도 많이 있다. 여러 입자로 이루어진 계의 시간변화를 나타내는 슈뢰딩어 방정식은
로 주어진다. 2체문제에서는 질량중심의 운동과 상대운동으로의 분리가 가능하다.
(2) 꼭같은 입자; 꼭같은 입자들은 다음의 특성을 만족한다.
1. 반기수 스핀을 갖는 동등입자들로 구성된 계는 반대칭인 파동함수로 기술된다. 그러한 입자들은 페르미온이라 불리며, 페르미-디락통계를 따른다.
2. 정수 스핀을 갖는 동등입자들로 구성된 계는 대칭인 파동함수로 기술된다. 그러한 입자들은 보오존이라 불리며, 보즈-아인슈타인 통계를 따른다.
2. 삼차원에서의 슈뢰딩어 방정식
(1) 변수분리; V(r)＝V(r)의 경우 구면극좌표계에서 변수 분리되며, V(r)＝V(x)＋V(y)＋V(z)의 경우에는 직각좌표계에서의 변수분리가 가능하다.
(2) 각운동량; 중심력을 받으며 운동하는 입자의 각운동량은 보존된다. 그 경우 계의 상태를 기술하는데 각운동량은 아주 중요한 역할을 한다. 각운동량에 대한 고유값방정식은
로 주어진다. 고유값의 스펙트럼은
l＝0, 1, 2, 3,
그리고 각각의 l에 대하여
m＝－l, －l＋1, …, －1, 0, 1, …, l－1, l
이다. 고유함수는 구면조화함수 Ylm(θ,
)로 주어진다.
(3) 수소원자; 수소원자는 양성자와 전자가 쿨롱퍼텐셜에 의하여 결합되어 있는 것으로 형상화 될 수 있다. 쿨롱 퍼텐셜에 대한 민시간 슈뢰딩어 방정식은 정확하게 풀 수 있다. 수소원자에 대한 지름방정식을 풀어서 고유값
과 지름파동함수를 얻는다. 지름파동함수에 구면조화함수가 곱해지면 고유함수가 된다.
3. 전자기장에서의 슈뢰딩어 방정식
전하가 전자기장 내에서 운동하고 있는 경우를 취급한다. 고전전자기학으로부터 해밀토니안의 형태를 유추할 수 있고, 벡터 퍼텐셜과 스칼라 퍼텐셜이 들어 있는 슈뢰딩어 방정식
을 얻는다. 구체적으로 제만 효과, 자기다발의 양자화, 아로노프-보옴 효과 등이 논의된다.
4. 스핀과 행렬
각각의 입자에 고유한 스핀을 취급하는데 있어서 행렬표현은 필수적이다. 연산자의 행렬표현에 대한 예로 조화진동자와 궤도각운동량의 경우를 살펴보고 나서, 스핀 1/2 입자에 대하여 자세히 다룬다. 스핀 1/2이 경우 스핀연산자는 파울리 행렬을 통하여
로 나타내진다.
5. 각운동량의 덧셈
각각의 입자에는 궤도각운동량과 스핀각운동량이 대응된다. 따라서 입자계를 취급하는 경우 각운동량의 합산은 필수적이다. 각운동량 J1과 J2의 덧셈의 결과, 주어진 j1과 j2에 대응하는 가능한 j값들은
j＝j1＋j2, j1＋j2－1, …, ｜j1－j2｜
가 되고, 각각의 j에
m＝j, j－1, …, －j＋1, －j
이 대응된다.
J의 고유상태들은 J1, J2 각각의 고유상태들에 의하여
으로 표현된다.
6. 민시간 건드림이론
고유값 방정식이 정확히 풀리는 해밀토니안은 상당히 적은 편이다. 어떤 계를 기술하는 해밀토니안이 정확히 풀리는 형태에 크게 다르지 않은 경우 건드림이론이 유용하다. 건드림이론을 전개하여 일차 에너지 이동과 이차 에너지 이동을 얻는다. 또한 축퇴가 있는 경우의 건드림 이론도 다룬다. 그리고 구체적인 예로 수소 원자에 대한 슈타르크 효과를 자세히 계산해 본다.
응용
1. 수소와 헬륨 그리고 원자구조
양자역학의 가장 큰 성과 중 하나는 원자구조에 대한 이해이다. 건드림이론을 이용하면 수소원자의 미세구조, 비정상 제만 효과, 그리고 초미세구조 등이 취급될 수 있다. 다른 한편으로는 변분방법을 통하여 헬륨원자의 바닥상태의 에너지 값을 추정해볼 수 있다. 또한 원자구조 및 주기율에 대한 이해도 가능하다.
몇 가지 중요한 결과를 요약하면 다음과 같다. 상대론적인 효과와 스핀-궤도 결합이 고려된 수소원자의 에너지준위는
가 된다.
헬륨의 바닥상태의 에너지는 Eg＝－78.975 eV인데 변분방법에 의하여 추정해 볼 수 있다.
껍질모형으로 원자구조가 설명될 수 있으며 주기율표로 정리된다.
2. 복사
시간의존 건드림이론의 결과를 일차항까지 유지하면
가 되고 시간 t의 경과 후 i→m으로 전이할 확률은
으로 주어진다.
초기상태 i가 광자의 방출에 의하여 최종상태 m으로 바뀌는 경우에 대한 전이율은
로 주어진다.
원자로부터의 복사에 대한 선택규칙은
로 주어진다.
3. 충돌
충돌에 의하여 흩뜨림이 일어나는 경우를 취급한다. 부분파동 전개를 통하여 충돌단면적을 구해보고, 비탄성충돌에 대하여도 간략하게 고찰한다.
부분파동 전개로 미분단면적은
로 구해진다. 보른 근사의 결과는
으로 주어지며, 쿨롱흩뜨림 등에 적용될 수 있다.
맺는 글
양자역학의 적용범위는 아주 넓기 때문에 위에 든 예들은 극히 일부에 해당한다. 또한 상대론적 양자역학이나 양자장론 등도 양자역학 교육의 대상에 포함될 수 있을 것이다. 그러나, 내용이 너무 많기 때문에, 주로 대학원에서 선택과목으로 개설되고 있다.
영문법 책을 보았다고 곧바로 영어에 능통해지기는 어려운 것이고, 바둑규칙을 모두 알고 있어도 '이창호'와는 아직 거리가 멀다. 양자역학의 기본을 배우자마자 양자역학적 세계에 대하여 잘 이해하게된다는 것은 쉬운 일이 아닐 것이다. 특히 우리의 인식은 시각에 의존하는 바가 큰데, 양자역학은 주로 눈에 보이지 않는 현상을 취급하고 있기 때문에 더 그렇다. 따라서 이런 일로 학생들이 기가 죽어서는 (학생들이 기가 죽게 해서는) 안될 것이다.
생소한 분야를 익히는 데에는 어느 정도의 집중훈련이 효과적인데, 교육환경에 문제가 생긴 것 같다. 학부제, 그리고 필수과목의 축소 내지는 폐지로 여러 학교에서 양자역학이 선택과목이 된 것 같고, 이 경우 부담을 주면 학생들이 아예 강의를 듣지 않을 수도 있다. 중요한 내용은 전달하면서도 학생들을 덜 불편하게 하는 교습법 및 교재개발이 절실히 요구된다 하겠다.[52]
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한창우 교수는 1987년 한국과학기술원 물리학과를 졸업(이학박사)하고 1987년부터 현재까지 경원대학교 자연과학대학 물리학과 교수로 재직 중이다. |