그림 1. 총점이 260점이 되는 100개의 주사위의 마구잡이 배열 |
그림 2. 총점이 260점이 되는 100개의 주사위의 초기 배열 |
이 구 철
머리말
1850년 크라지우즈가 처음으로 도입한 엔트로피의 개념은 1870년경 볼쯔만이 통계역학적 정의를 내림에 따라 그 의미가 명확해졌다. 이어서 1948년 셰논의 "통신의 수학적 이론"이라는 기념비적 논문[1]은 엔트로피를 정보이론 및 수학적(확률론적) 개념으로 일반화시켰다. 이로서 엔트로피는 정보통신시대의 중요한 개념으로 부상하였다. 이제 엔트로피는 수학, 물리 화학 등 물리과학 뿐 아니라 생물학 생태환경학, 사회학, 경제학등 모든 학문에서 거론되는 중요한 개념으로 떠 올랐다.[2] 따지고 보면 지구는 끊임없이 태양에서 네겐트로피[2](엔트로피에의 음수)를 받아 기상변화를 일으키고 질서를 창출하고 생물체를 진화시키며 생체계를 유지한다. 이러한 관점에서 본다면 엔트로피가 관여하지 않는 학문 분야가 없다는 것은 너무나 당연하다 할 것이다.
그럼에도 불구하고 일반물리에서 엔트로피의 교육은 100여년간 변한 것 없이 150년 전의 크라지우즈의 정의
dS＝dQ／T (1)
를 답습하고 있다. 이 정의에서는 엔트로피의 증가량은 흡수한 열량 dQ와 비김상태에 있는 물체의 절대온도 T와의 비(ratio)로 정의된다. 중급과정 열물리학에서 열역학은 이제 거의 모두 통계열물리로 바뀌었는데도 일반 물리에서는 원자나 분자의 존재조차 모르던 시대에 형성된 열역학을 그대로 가르치고 있는 것이다. 그래도 그것이 이해하기 쉬운 방법이라면 정당화할 여지는 있다. 위에 적은 크라지우즈의 엔트로피 정의는 중급과정 열물리에서조차 그 수학적, 물리적 배경을 가르치기 위하여서는 상당한 시간을 할애하여야만 하는 만만하지 않은 주제라는 점이 문제의 심각성을 더해 준다. 먼저 열은 열역학의 제일 법칙을 통해서 정의되는 임의의 미소량이다. 또 우변의 절대온도는 열역학에서는 한낱 실험적인 기이한 특성일 뿐이다. 이 비가 되짚기(reversible) 과정에서는 완전미분(exact differential) dS로 바뀐다는 것은 일반물리 수준이 아닌 의미 심장한 수학과 물리이론의 배경을 함축하고 있다.
한편 볼쯔만은 비김상태에 있는 거시적 물체의 엔트로피는 그 상태에 있을 수 있는 모든 미시적 상태의 개수 W의 자연대수함수
S＝k ln W (2)
로 정의하고 있다. 이 얼마나 간결하고 이해하기 쉽고 가르치기 쉬운 정의인가! 주로 일반물리교사는 통계물리를 전공한 사람들이 아니기 때문에 통계물리 또는 확률론에 대하여는 어렵다는 선입견을 갖고 있다. 이 때문에 일반물리에서 엔트로피를 가르치는 교사 자신도 이해하지 못하는 크라지우즈 공식을 학생들에게 앵무새처럼 되뇌는 교육을 100여년 동안 관습에 의하여 되풀이하여 왔다고 생각된다. 교사들은 그들에게 익숙하다는 것 밖에는 아무 장점이 없는 크라지우즈 정의를 가르치고 있는 것이다. 그러나 교사들에게 익숙하다 하여 학생들 또한 쉽게 이해하리라 기대하는 것은 큰 착각이다. 교사들이 얼마나 착각에 사로 잡혀 있는가를 학생들에게 물어 보면 쉽게 알 수 있다.[5] 이 문제 뿐만 아니라 일반물리 교육의 개혁을 저해하는 가장 큰 요인으로 교사의 잘못된 의식이 지적되어 왔다. Lillian McDermott[4]가 잘 보았듯이 자기가 배운 대로 밖에 가르치려 하지 않는 교사들의 보수적 의식이 큰 문제인 것이다.
지금이 어느 시대인가? 원자를 하나 쪽집개로 집듯이 잡아서 조작할 수 있는 시대이다. 원자나 분자를 모르던 시대의 경험법칙을 천연덕스럽게 가르친다는 것은 창피스러운 일이다. 더욱이 크라지우즈의 엔트로피는 오늘날 상상도 못하는 분야에까지 확대 승화된 엔트로피 개념과는 거의 무관하다는 점이 심각한 문제라고 생각된다. 정보 통신이론의 정보 엔트로피는 고사하고 생태학에서 다양성의 측도(measure of diversity)로 쓰이는 Biodiversity Index[5,6] 같은 개념은 크라지우즈의 열역학적 엔트로피 정의에서는 그 아무 연관도 찾을 수 없다. 이들은 볼쯔만의 엔트로피 개념을 원용한 것들이다.
크라지우즈의 엔트로피로 열물리를 가르치는 것은 마치 가리레오의 비탈면 실험으로 역학을 대신하고 케플러의 법칙만으로 만유인력을 설명하는 것과 같다. 비선형 동력학, 캐오스 프랙탈이 물리 밖에서는 상식처럼 통용되는 세상에서 뉴턴 역학은 뒷전에 두고 가리레오의 비탈면 실험만 가르치는 꼴이다.
한편 판서와 책을 위주로 하던 교육의 시대는 갔다.[7] 이른바 IE(Interactive Engagement) 방법은 세계적 추세이다. 듀크 대학의 연구결과[8]나 해이크 교수의 보고서[9]가 이를 웅변하고 있다.
"들은 것은 잊기 쉽고 본 것은 기억하나 해 본 것만이 이해할 수 있다"라는 격언이 있다.[7,8] 앞으로는 이른바 원격교육이 일반화되리라고 근간의 시사 주간지 타임이 내다보았다.[10] 이제까지의 방식으로 가르치는 교사는 10년 내지 15년 안에 사라진다는 것이다.
이와 같은 IE 방식 교육개혁이 가능하게 된 것은 다름 아닌 컴퓨터와 인터넷을 이용하는 정보통신 기술 혁명의 결과이다. 필자가 제안한 일반물리에서 볼쯔만 엔트로피를 쉽게 가르치는 방법도 바로 이러한 컴퓨터와 인터넷 시대이기 때문에 가능하게 된 것이다.
이 글에서는 필자가 개발한 무른모(소프트웨어)를 중심으로 볼쯔만의 엔트로피를 가르치는 방법을 설명하려고 한다. 이 무른모는 볼쯔만의 엔트로피와 거기에서 연역되는 열 물리의 기본 개념을 주사위만 던져보아도 알 수 있다는 것을 보여주고 있다. 또한 이 방법은 인터넷시대에 어떻게 IE 방법을 적용할 수 있는가를 보여주는 시범 교육자료로 볼 수 있다.
보다 자세한 내용은 영문 웹페이지[11]의 "documentation"이라는 디렉토리에 "pdf" 파일형식으로 올려놓았으며 이 문서는 곧 미국의 물리교육 잡지 "Am. Journal of Physics"에 게재될 예정이다. 또 우리말로는 일반물리 수강생을 위하여 더욱 친절하고 자세하게 해설하여 우리말 웹페이지[12]에 올려놓았다. 이 문서에는 애플렛을 많이 삽입하여 마우스를 크릭하기만 하면 여러 시늉내개(simula- tor)를 즉석에서 실행할 수 있게 하였다.
주사위만 던져도 열물리는 보인다.
통계물리를 전공하지 않은 교수가 일반 물리에서 통계열물리를 가르치기를 꺼리는 이유는 물리의 다른 분야에서는 별로 쓰이지 않는 몇가지 익숙치 않은 방법들이 있기 때문이라고 생각된다. 보기를 들자면 가) 확률 논리 나) 가지수 세기 다) 통계물리적인 큰수 다루기 등이라고 생각된다.
그러나 이러한 방법들은 중고등학교 수학으로 충분히 해낼 수 있는 아주 초보적인 수학들이다. 그럼에도 불구하고 처음부터 어렵다는 선입견을 갖고 학생도 그러려니 하고 회피하여 왔다고 생각한다. 이 글에서는 주사위를 보기로 들어 이러한 수학들이 결코 일반물리 수준을 넘어서는 것이 아니라는 것을 보이려 한다. 주사위를 보기로 든 이유는 주사위는 우리 주위에 흔히 있는 낯익은 물체이고 중고등학교의 확률에서 자주 보기로 쓰이는 물체이기 때문이다. 사실 주사위만 던져도 열물리의 기본을 이해할 수 있다. 이 이야기는 두가지 전제 아래에 가능하다. 그 하나는 컴퓨터를 사용하게 됨으로 가능하게 되었다. 즉 100 개에서 수 만개나 되는 많은 개수의 주사위를 던질 수 있게 되었다는 점이다. 둘째는 점수를 일정히 하는 마구잡이 배열을 만들 수 있는 기법이 개발되었기 때문이다. 둘째의 이야기를 구체적으로 하면 100개의 주사위를 총점이 260점이 되는 마구잡이 배열을 쉽게 만드는 방법이 개발되었다는 것이다. 그림 1은 총점이 260점이 되는 100 개의 주사위의 마구잡이 배열이다. 어떻게 이러한 배열을 만들 수 있는가? 그냥 100개의 주사위를 마구잡이로 던져서 그 중에서 총점이 260점이 되는 배열을 가려내면 되지 않겠는가 하는 생각을 할지 모른다. 그러나 그 방법은 실패한다. 주사위 100개의 총 배열의 가지수는 Wmax＝6100＝1078이고 총점이 260점이 되는 배열의 가지수는 대략 W260＝1051이 되기 때문에 총점이 260점이 되는 배열은 1027번에 한번 꼴로 밖에 나오지 않기 때문이다. 우주의 나이가 1018초라 하니 1초에 한번씩 우주의 나이동안 주사위를 던져도 위와 같은 배열을 얻을 확률은 10－9 밖에 안 된다.
그림 1과 같은 배열을 얻는 방법은 아직까지는 크로이츠[13]가 제안하고 필자[14,15]가 발전시킨 작은바른틀 몬테칼로(microcanonical Monte Carlo) 방법 밖에 없다.
이 방법은 (A)그림 2와 같은 초기 배열을 만들고 (B) 아무 주사위나 마구잡이로 골라서 던진다. (C) 새 배열의 총점수 T 가
255 ≤ T ≤ 265 (3)
안의 값이면 새 배열을 수용하고 이 범위 밖이면 원 배열을 유지한다. 이 과정을 몇 번 되풀이하면 총점이 260점이 되는 새로운 배열을 얻게 된다. 자세한 설명은 참고문헌 [11]과 [12]를 참조하고 거기에 올라와 있는 시늉내개(simulator)를 실행시켜 보기 바란다.
주사위의 배열과 엔트로피
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그림 1. 총점이 260점이 되는 100개의 주사위의 마구잡이 배열 |
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그림 2. 총점이 260점이 되는 100개의 주사위의 초기 배열 |
볼쯔만 엔트로피를 가르치는 데에 교사들을 당혹하게 해주는 것은 볼쯔만 의 엔트로피 공식에 들어 있는 가지수 W를 어떻게 셈할 것인가 하는 문제라고 생각된다. 100개의 주사위의 총점이 260점이 되는 마구잡이 배열의 가장 전형적인 모습은 어떤 것인가를 생각해 보자. 가장 전형적인 마구잡이 배열은 바로 비김 상태의 배열이다. 즉 확률적으로 가장 잘 나올 그런 배열이라는 뜻이다. 그림 2와 같은 배열은 쉽게 구성할 수 있다. 이 배열은 68개의 "1"과 32개의 "6"으로만 구성되어 있다. 이러한 배열은 쉽게 나오지 않는다. 이는 또한 누가 보아도 마구잡이 배열이 아니라는 생각을 할 것이다. 그림 2와 같은 배열을 화투를 칠 때 엎어놓고 쓱쓱 화투 패를 뒤섞어 놓듯 휘저어 놓아보자. 주사위를 굴리지 않으면 전형적 마구잡이 배열인 그림 1과 같은 배열은 얻지 못한다. 68개의 "1"과 32개의 "6"으로만 구성되어 있는 배열은 그 가지수가 이항곁수
Wbino＝100C32≃1026 (4)
f
이고 이것은 총점이 260 점이 되는 배열의 총 가지수 W260＝1051에 대한 10－21 분량이다.
이러한 W를 셈하는 데에는 배열의 급(class)을 설정하여야 한다. 이 배열의 급은 실제로 물리계에는 대응하는 상황이 있으며 임의적은 아니다. 우선 엔트로피는 비김 상태에서만 일의적으로 정의할 수 있는 물리량이라는 사실을 기억해 두기 바란다. 가지수 셈법에서 그 가지수에 속하는 급에 대응하는 특별한 비김 상태가 있다. 통계역학은 이 셈범과 물리적 계의 상태를 다리 놓아주는 역할을 한다.
통계역학을 설명하기 위하여 주사위를 원자에 비유하고 주사위의 점수를 원자의 에너지 준위로 비유하기로 한다. 통계역학의 기본 가설은 등선험확률의 가정(postulate of equal a priori probability)[16]이다. 이 가정에 따르면 접근 가능한(허용되는) 모든 미시적 상태는 같은 확률로 구현된다는 것이다. 물리학에서 가정이란 그 가정에서 연역되는 결론이 관측결과와 일치하면 타당성을 획득하고 궁극에는 원리로서 승격하게 된다. 확률은 가지수에 비례하므로 무시될 수 있는 가지수의 배열은 실현되지 않는다. 그림 2와 같은 배열은 총점이 260점되는 마구잡이 배열을 만들 때에 나타날 확률은 0이다.
그러면 그림 2와 같은 배열에 해당하는 비김상태는 어떤 물리적 상태인가? 그것은 점수 "1"과 "6"의 경계에 단열 막으로 에너지의 교환을 차단한 채 시료를 준비하였을 때의 열 비김한 상태라 말할 수 있다. 이 때 이 단열막을 제거하고 새로운 조건 아래에서 비김 상태에 이르게 하는 것이 화투를 뒤섞듯이 휘젓는 것이다. 이 때 엔트로피는 증가한다. 왜냐하면 그림 2와 같은 배열은 오직 하나 밖에 존재하지 않으므로 W = 1로서 S＝k ln 1＝0이지만 단열막을 제거하고 휘저어 마구 섞어 놓으면 그
가지수는 
로서 엔트로피는 S＝k ln 1026＝26k ln 10가 된다.
위에 보기에서는 엎어놓은 화투 패를 쓱쓱 밀 듯 주사위를 휘저어 뒤섞었는데 이것은 주사위가 구르지 않고 공간적으로만 움직일 수 있다는 제약을 가한 경우이다. 이러한 제약 또는 제한은 물리 계에서도 볼 수 있다. 이원자 분자가 아주 낮은 온도에서는 회전 또는 떨기 운동을 할 수 없으므로 질량중심의 병진 운동만이 견줌열에 이바지 하다가 온도가 오르면 다른 역학적 자유도가 열운동에 이바지하면서 견줌열 값이 뛰어 오르는 경우와 비슷하다 할 수 있다.[17] 이처럼 가지수 세기는 물리적 상황에 맞는 제약을 고려하여 그 배열의 급을 정하고 가지수는 그 급에 속하는 배열의 개수를 셈한다. 따라서 모든 자유도가 들뜰 수 있는 물리적 상황에서는 아무 제약이 없으므로 주사위가 구를 수 있는 경우까지 포함하여 그 가지수를 센다. 이러한 경우의 마구잡이 배열은 앞 절에서 설명한 작은 바른틀 몬테칼로 시늉내개를 수행하여 얻을 수 있으며 이때 실현되는 마구잡이 배열이 비김상태의 배열이다. 그 가지수는 총점(총에너지)이 일정한 경우의 배열의 가지수
가 되고 이 값을 써서 비김 엔트로피
S＝k ln 1051＝51k ln 10
를 얻는다. 이 경우 "1"과 "6"만으로 이루어진 마구잡이 배열의 개수는 무시될 수 있음에 주목하기 바란다. 즉 제약이 풀리면 제약이 있을 때의 가지수는 대개 무시되는 것이 통계역학의 특성이 이것이 다음 절에서 다룰 안되짚기(irreversible)과정의 근원이다.
통계물리적 큰 수와 안되짚기 과정
W260는 총 배열수 Wmax에 비하면 무시될 만큼 작지만 Wbino는 W260에 비하면 무시될 만큼 작다. 이러한 큰 수의 비교는 아래와 같은
어림식을 만든다.[12]
가 성립한다. 여기서 N은 클수록 잘 맞는 어림식이다. 보기를 들자면 a가 W처럼 N의 지수함수, 즉 a＝fN이면
가 된다. N이 10,23쯤 되면 위의 어림식에서 무시한 양은 23 정도인데 10,23가 되는 N에 비하면 아무 것도 아니다. 이처럼 가지수는 보통 크기 변수인 개수 N의 지수함수이며 이 N이 아주 클 때에는 통계물리 밖에서 경험하지 못한 역설처럼 보이는 어림식이 존재한다.
위의 (4)식 또는 (5)식은 단순한 수식이 아니라 의미 있는 물리를 내포하고 있다. 앞 절에서 보기를 든 주사위를 구르지 않게 제약하고 마구 휘젓는 과정을 시늉내면 우주의 나이동안 1초마다 그 배열을 열어보아도 그림 2와 같이 정열된 배열을 재현할 확률은 10－26＋18 ＝ 10－7 밖에 안된다. 만약에 주사위를 구르게 허용한다면 그 확률은 더욱 작아져 10－51＋18＝10－33이다. 이것이 바로 안되짚기 과정을 시늉내고 있는 것이다. 열이 일단 고르게 분배되면 다시 차고 뜨거운 두 부분으로 되돌아가지 않는 안되짚기과정은 시늉내고 있는 것이다. 참고자료 [11]과 [12]에서는 엔트로피를 총점이 260점이 되는 배열의
가지수를 주사위 점수 k가 nk되는 차지수 분포 {nk}를 배열의 급으로 나누어 설정하였다. 이 급에 해당하는 엔트로피함수
S＝lnW({nk}) (6)
를 정의하여 그 함수가 작은 바른틀 몬테칼로 시늉내기를 함에 따라 어떻게 변하는가를 따라가며 살펴보는 시늉내개를 만들었다. 이 시늉내개로 열풀림과정을 눈으로 볼 수 있다. 처음 분포는
{nk}＝{n1＝68, n2＝0, …n5＝0, n6＝32}
(7)
이고 이 분포에 해당하는 가지수 W = Wbino이다.
그림 3은 그림 2와 같은 초기 배열에서 출발하여 작은 바른틀 몬테칼로 시늉내기를 수행하면 {nk}가 처음분포 값 (7)에서 바뀌면서 이에 대응하는 W도 바뀌고 그 엔트로피도 바뀐다. 이때 엔트로피가 극대가 되는 차지수 분포 {k}가 되면 그 근방에 작은 요동만 하고 초기 상태와 같은 배열로 바뀌지 않는 것을 볼 수 있다.
맺는말
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참고자료 [11]과 [12]에는 이 밖에도 열물리의 중심 개념인 온도의 통계 물리적 의미를 이해시킬 수 있는 시늉내개를 만들어 학생들이 실제로 실행해 보면서 이해를 증진시키도록 하였다. 또 일반물리에서 항상 다루지만 그 근거에 대해서 대부분 언급하지 않고 넘어가는 막스웰 볼쯔만 분포의 그 근원을 시늉내개로 배울 수 있게 하였다. 막스웰 볼쯔만 분포란 다름아닌 그림 1이나 3에서 주사위의 점수의 분포를 세어 보면 확인할 수 있는 분포이며 왜 이러한 분포가 생기는가를 시늉내개를 실행하여 봄으로서 확인 할 수 있게 하였다.
결론으로 다시 한번 강조하거니와 일반물리에서 엔트로피를 크라지우즈가 정의한대로 가르친다는 것은 학생들이 더 쉽게 이해하는 것도 아니며 오늘날 정보이론을 위시하여 많은 분야에서 확대 일반화되어 엔트로피 개념을 이해하는 데에도 아무 도움이 되지 않는다는 것이다. 이것은 자기가 배운 대로 가르치려는 교사들의 의식이 그 원인이며 교사들이 반성해야 할 일반물리 교육의 부끄러운 면이라 아니 할 수 없다.
참 고 문 헌
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[9] Hake R. Richard, Am. J. Phys. 66(1), 64 (1998).
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[11] Koo-Chul Lee, "How to teach statistical thermal physics in an introductory physics course" at http://phya.snu.ac.kr/~kclee/howto/
[12] 이구철 "주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수 있어요." at http://phya.snu.ac.kr/~kclee/dice/
[13] Michael Creutz, Phys. Rev. Lett. 50, 1411-1414 (1983)
[14] Koo-Chul Lee, J. Phys. A: Math. Gen. 23, 2087-2106 (1990)
[15] Koo-Chul Lee, J. Phys. A: Math. Gen. 28, 4835-4842 (1995)
[16] Federick Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, 54 (McGraw-Hill Inc., 1965)
[17] Halliday, Resnick and Walker, Fundamentals of Physics, 4th ed. 592 (John & Wiley Inc., 1993).
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이구철 교수는 미국 워싱턴(시애틀) 대학교 물리학과에서 이학박사(통계물리, 전산물리 전공) 학위를 취득한 후 현재 서울대학교 자연과학대학 물리학과 교수로 재직 중이다. 수상 경력으로는 국민훈장 석류장 서훈, 과학기술총연합회 과학기술 최우수 논문상, 서울시문화상 등을 수상하였고 자바로 하는 물리(서울대 물리학과 전산물리 과목)를 개발 중이다. |