초전도 배열의 양자 결맞음

최 무 영

머리말

일반적으로 크게보기계 (macroscopic system)에서는 환경이라고 총칭하는 많은 자유도로 에너지 흩어지기 (dissipation)가 일어나서 계 전체에 걸쳐 위상이 결맞지 않는다. 따라서 양자 현상은 나타나지 않고 열요동 (thermal fluctuation)이 지배하게 되므로 고전적으로 다룰 수 있다. 그러나 초전도체에서는 흩어지기가 충분히 작으므로 계 전체에 걸쳐 결맞음 (coherence)이 유지될 수 있으며, 또한 온도가 충분히 낮으면 결맞음길이 (coherence length)가 커지므로 작은 전자계 등에서도 결맞음이 유지될 수 있다. 이러한 중간보기계 (mesoscopic system)는 작게보기계 (microscopic system)로부터 크게보기계로 가는 중간 단계로서 양자 및 통계역학의 이해에 유용할 뿐 아니라, 새롭고 고유한 성질을 나타내어서 근래에 많은 관심을 끌고 있다. 특히 나노기술 (nano-technology)의 발달로 소자들이 양자 극한에 접근함에 따라 중간보기계의 연구는 이론적인 관심과 더불어 실용적인 면에서도 중요하며, 복잡한 실제 세계의 다양한 협동현상과 양자현상을 이해하는 데 도움을 줄 것으로 기대된다.

이러한 계에서 서로작용 (interaction)과 쩔쩔맴 (frustration) 및 마구잡이 무질서 (random disorder) 등의 효과는 물리적 성질에 중요한 영향을 미치며, 특히 열요동 및 양자요동이 큰 역할을 하는 낮은 차원의 계에서 흥미롭다. 예를 들어 중간보기계의 전형이라 할 수 있는 낮은 차원의 전자 뭇알갱이계 (many-particle system)는 전자들의 상관 효과나 마구잡이 효과에 따라 초전도, 절연체, 금속 등 전혀 다른 특성을 나타내며, 양자 결맞음에 기인하여 지속전류 (persistent current), 쿨롱틈(Coulomb gap), 보편전도도요동 (universal conductance fluctuations), 다발상태 (flux state), 양자홀효과 (quantum Hall effect) 등 흥미로운 현상과 양자혼돈 (quantum chaos)의 가능성을 보인다. 한편 기판 위에 전형적으로 크기 1㎛, 두께 10 nm 정도의 초전도 낟알을 106개 가량 규칙적으로 살창을 이루도록 늘어놓은 초전도배열 (superconducting array)에서는 낟알 사이에는 초전도체가 있지 않지만 조셉슨효과 (Josephson effect) 또는 가까움효과 (proximity effect)에 의해 이웃한 낟알들이 결합해서 여러 흥미로운 집단 성질이 나타난다. 예를 들어 이차원 조셉슨접합배열 (Josephson-junction array), 곧 절연체 바탕에 초전도 낟알을 네모살창 (square lattice) 등 이차원 살창을 이루도록 늘어놓은 계에서는 낟알 사이에 조셉슨 결합에 의해 충분히 낮은 온도에서는 위상결맞음이 유지될 수 있고, 따라서 낟알 사이는 절연체임에도 불구하고 조셉슨접합배열 전체적으로는 초전도 상태를 보일 수 있다.

특히 자기마당에 놓인 초전도배열은 쩔쩔맴 효과를 연구하는 전형적 계로서, 평균마당어림 (mean-field approximation)에서는 서로작용하지 않는 꽉묶인 전자 (tight-binding electron)로 바꾸어 생각할 수 있다. 또한 낟알 배열 등을 조금 흩트려서 마구잡이 무질서 효과도 고찰할 수 있으며, 전자계에서 지속전류나 한곳되기 (localization)에 대응하는 현상들을 관찰할 수 있는데 실제 계에서 이들 효과를 조절할 수 있고 이론적 모형과 실제 계가 직접 대응하므로 이론과 실험의 비교·검증에 매우 유용하다. 이에 따라 이러한 초전도배열의 평형 및 비평형 성질이 널리 연구되어 왔으며, 이차원에서 베레진스키-코스털리츠-사울리스 (Berezinskii-Kosterlitz-Thouless; BKT) 전이와 이징 형태 (Ising-type) 전이 등 대칭성 깨짐, 되들어감 (reentrance) 및 유리전이 (glass transition)의 가능성 등 고비 성질과 함께 전류-전압 특성, 동역학적 저항, 전압요동, 교류 전류로 몰 경우에 장다리 샤피로 계단(giant Shapiro step), 몰이 전류 (driving current)와 잡음과의 미묘한 관계에 의한 확률 껴울림 (stochastic resonance) 등의 동역학적 성질이 조사되었다.

그러나 보통의 초전도 배열에서 이러한 상전이 및 동역학적 집단 성질은 본질적으로 양자역학적인 각 낟알의 초전도 현상 자체와는 달리 열요동이 지배하는 고전적 현상이며, 이러한 의미에서 초전도 배열은 고전적인 크게보기계라고 할 수 있다. 이와는 달리 근래에 초미세제조술 (microfabrication technique)의 발달에 의해 만들어진 매우 작은 초전도 낟알의 배열에서는 낟알 자체나 이웃한 낟알 사이의 전기들이 (capacitance)가 충분히 작으므로 조셉슨에너지에 비해 충전에너지 (charging energy)가 무시할 수 없을 만큼 크다. 이에 의해 전자계에서 홑전자의 꿰뚫기에서 보이는 쿨롱가로막이 (Coulomb blockade)와 마찬가지로 쿠퍼 짝의 꿰뚫기에 쿨롱가로막이 효과가 나타날 수 있으며, 더욱이 각 낟알에서 쿠퍼 짝 (Cooper pair)들의 위상과 개수 사이에 켤레 (conjugate) 관계가 성립하고, 이에 따라 양자요동 효과가 중요해진다. 이러한 계에서는 자기마당 뿐 아니라 대문 전압 (gate voltage) 등에 의해 꾀는 게이지 전하 (gauge charge)에 의해서도 쩔쩔맴 효과가 생기며, 이에 따라 초전도 상태와 절연 상태 또는 금속 상태 사이에 흥미로운 열역학 및 양자역학적 상전이가 나타난다. 또한 이러한 양자 초전도배열은 중간보기 전하밀도파 (charge density wave)와 다양하게 응용되는 보오즈-허바드 모형 (Bose-Hubbard model) 및 양자 스핀모형 (quantum spin model)과도 밀접한 관련을 지닌다. 특히 이차원에서는 이중성 변환 (duality transformation)에 의해 전하, 곧 쿠퍼 짝 대신에 소용돌이 (vortex)에 의해 기술할 수 있으며, 이 경우에 양자 소용돌이의 상태 및 동역학이 계의 성질을 결정한다.

초전도배열에서는 전자계에서 나타나는 양자 결맞음에 의한 현상들에 대응하여 지속전류, 한곳되기, 블로흐 진동 (Bloch oscillation) 및 거꿀 샤피로 계단 (inverse Shapiro step) 등과 함께 양자 홀 효과, 양자 혼돈 등의 가능성을 볼 수 있으며, 이에 더해 지속전압, 아로노프-캐셔 효과 (Aharonov-Casher effect), 크게보기 양자현상 (macroscopic quantum phenomena)과 흩어지기, 보오즈-아인슈타인 서림 (Bose-Einstein condensation), 양자 상전이 (quantum phase transition) 등 매우 다양하고 흥미로운 현상들을 연구할 수 있다. 이 글에서는 이 같은 초전도 배열의 양자 결맞음에 의한 다양한 현상들을 간단히 기술하려 한다.

고전적 배열

초전도 낟알의 배열에서 낟알의 크기가 긴즈버그-란다우 결맞음길이 (Ginzburg-Landau coherence length)보다 크지 않으면 각 낟알에서 초전도 질서맺음변수는 거의 일정하다고 할 수 있다. 따라서 i번째 낟알의 복소 질서맺음변수를 i≡| i|eiφi라 하면 전체 계의 긴즈버그-란다우 자유에너지 범함수는

(1)

으로 쓸 수 있다. 여기서 a, b, c는 일반적으로 온도 T에 의존하는 상수로서 (T－T0)a ＞ 0 및 b, c ＞0을 만족하며, 마지막 항은 | |2의 띄엄띄엄한 살창 표현이다.

이러한 계는 온도에 따라 두 가지 전이를 보이게 된다. 온도 T가 높으면 식 (1)에서 a ＞ 0이므로 i＝0에서 F가 최소가 되지만 온도가 내려가서 T ＜ T0이 되면 a ＜ 0이므로 로 주어진다. 각 낟알의 질서맺음변수의 너비가 0이 아니게 되는 것은 T＝T0에서 BCS 전이를 통해 초전도 상태가 됨을 의미한다. 그러나 그 위상 i는 제멋대로 요동하므로 전체 계에 걸친 위상결맞음은 존재하지 않는다. 온도를 더 내려서 T＝Tc ≈J/kB에 이르면 식 (1)의 마지막 결합 항에 의해 위상의 결맞음이 생겨나고, 이에 따라 전체 계가 초전도 상태가 된다. 일반적으로 Tc는 T0보다 꽤 낮으므로 Tc 근방에서 너비 | i|는 충분히 커져 있는데, 이러한 경우에 너비의 요동을 건드림으로 취급해 보면 위상 결맞음을 주는 상전이에 정성적인 영향을 주지 않으므로 이를 무시할 수 있다. 따라서 식 (1)에서 | i|를 일정하다고 생각하고 위상 i의 요동만을 고려하면 2c| |2≡J로 놓아서 이른바 고전 XY 모형의 유효 해밀토니안

(2)

를 얻으며, 이는 바로 이웃한 낟알 사이에 형성되는 조셉슨 접합들의 에너지를 나타낸다. 여기서 결합 세기는 J＝(ħ/2e)Ic로 주어지는데 낟알 사이 접합의 고비전류 Ic는 일반적으로 온도에 의존하며, 조셉슨 접합의 경우에는 틈 맺음변수 (gap parameter) 및 갈래저항에 의해 결정된다.

삼차원에서 식 (2)는 보통의 연속상전이를 통해 위상의 결맞음, 곧 엇대각 긴버렁 질서 (off-diagonal long-range order)를 보이며, 이는 액체 헬륨의 초흐름 전이를 나타내기에 적합하다. 이에 반해 이차원에서는 머민-바그너 정리 (Mermin- Wagner theorem)에 의해 연속대칭성이 깨질 수 없고, U(1) 대칭성을 지닌 식 (2)는 긴버렁 질서를 보일 수 없다. 그러나 높은 온도에서 위상 결맞음을 재는 상관함수 (r)≡〈eiφie－φj〉가 거리 r≡|i－j|의 지수함수로 급격히 줄어들어 [ (r)~e－r/ξ] 질서 없는 상태가 됨과 달리 낮은 온도에서는 상관함수가 멱함수로 줄어드는 [ (r)~r－η] 이른바 준긴버렁 질서 (quasi- long-range order)를 보인다. 띄엄띄엄한 살창 대신에 연속체로 기술하면 식 (2)는

(3)

이 되어서 가우스 모형 (Gaussian model)이 되는데 이는 이른바 골드스톤 방식인 스핀파동 (spin wave)에 의해 긴버렁 질서는 없지만 언제나 준긴버렁 질서를 지닌다. 그러나 실제로 식 (2)에서는 온도를 높이면 스핀파동 외에 위상수학적 결함인 소용돌이 들뜸이 생겨나고 이에 따른 BKT 전이에 의해 질서 없는 상태가 된다. 소용돌이를 둘러싸는 곡선을 따라 위상 변화를 적분하면 ∮ ·dl＝2 n으로 주어지는데 n은 소용돌이 전하로서 n＝±1인 소용돌이 및 반대소용돌이 (antivortex)가 상전이에 중요하다. 이를 살펴보기 위해 원점 (r＝0)에 위치한 소용돌이를 생각하자. 이는 위상의 짜임새 (r)＝n (r)로 표현되며, 여기서 (r)≡tan－1(y/x)는 위치벡터 r≡(x, y)가 x축과 이루는 각이다. 소용돌이의 위치(r＝0)에서는 각 가 정의되지 않고, 따라서 위상 (r＝0)는 존재하지 않는데, 이는 | (r＝0)|＝0을 뜻하므로 결국 소용돌이란 건드림 아닌 (non-perturbative) 너비 요동을 나타낸다고 할 수 있다.

이러한 소용돌이는 식 (3)의 스핀파동 에너지 외에

(4)

로 주어지는 에너지를 준다. 여기서 R은 계의 크기, ξ0는 | |≈0을 주는 소용돌이 속심 (core)의 크기이고 Ec는 속심의 에너지이다. 식 (4)는 R에 대해 발산하므로, 충분히 큰 계에서 소용돌이 하나는 생겨날 수 없음을 보여준다. 그러나 소용돌이와 반대소용돌이의 짝은 그들 사이의 거리 r에 대해

(5)

의 에너지를 가지므로 유한한 온도에서 소용돌이 짝이 생겨날 수 있다. 거리의 로그에 의존하는 식 (5)는 바로 이차원에서 쿨롱 퍼텐셜에 해당하며, 따라서 소용돌이 및 반대소용돌이들은 이차원 쿨롱 기체로 취급할 수 있다. 에너지가 거리에 대해 증가하므로 소용돌이와 반대소용돌이는 묶인 짝을 이루려 하지만 온도가 높아지면 엔트로피 S의 기여가 중요해져서 짝이 풀어지고 자유로운 소용돌이들이 나타난다. 소용돌이의 위치에 관련하여 가능한 상태 수는 ＝R2/ 20이므로 자유로운 소용돌이 하나가 나타나는 과정에서 자유에너지 변화는

(6)

로 주어진다. 따라서 T＜Tc≡( /2)J/kB이면 F＞0 이므로 자유로운 소용돌이는 나타나지 않으며, 스핀파동에 의해 준긴버렁 질서를 지니게 된다. 반면에 T＞Tc가 되면 짝이 풀어져서 자유로운 소용돌이들이 나타나게 되고, 계는 질서 없는 상태로 된다. 이러한 BKT 전이란 결국 T＝Tc에서 쿨롱 기체가 쌍극자 (dipole) 상태로부터 홑극 (monopole) 상태로 되는 이온화 과정이라 할 수 있다. 여기서는 간단하게 하나의 소용돌이만 생각해서 논의하였으나, 보다 정밀하게 식 (2)에 의한 분배함수를 이중성 변환하면 스핀파동 외에

(7)

로 기술되는 쿨롱 기체의 기여가 얻어진다. 여기서 ni는 살창 얼굴 또는 이중성 대응 살창점 (dual lattice site) i에 위치한 소용돌이의 전하이며 Gij는 살창그린함수(lattice Green's function)인데 그 대각 성분을 고려하면 인 중성 조건을 만족함을 알 수 있다. 이러한 쿨롱 서로작용하는 소용돌이들을 되틀맞춤 무리 이론으로 다루고 속심 에너지를 고려하면 kBTc≈0.89J를 얻는다.

벡터퍼텐셜 A에 해당하는 자기마당의 영향은 게이지 안바뀜성 (gauge invariance)을 유지하는 최소 결합 (minimal coupling)에 의해 → ＋i(e/c)A로 바꾸면 살펴 볼 수 있다. 이 치환을 띄엄띄엄하게 나타내어서 식 (1)에 적용하면 식 (2)는

(8)

이 되어서 쩔쩔매는 XY 모형의 해밀토니안을 얻는다 . 여기서 Aij ＝(2 / ) ∫ijA·dl로서 한 액자에 대한 합은 가 되는데, 액자 당 다발양자 0≡hc/2e의 수 f는 계의 쩔쩔맴을 조절한다. 일반적으로 f의 값은 액자마다 다를 수 있으나, 균일한 자기마당의 경우에는 계 전체에 걸쳐 일정하며, 대칭성을 생각하면 0≤f ≤1/2만 고려해 주면 된다. 서로 소인 정수 p, s에 대해 f＝p/s이면 계는 연속적인 U(1) 대칭성 외에 띄엄띄엄한 Zs 대칭성도 지니므로 이차원에서도 손지기 등의 긴버렁 질서를 보일 수 있다. 식 (8)에서도 이중성 변환을 적용하면

(9)

를 얻으나, 이러한 분수전하를 지닌 쿨롱 기체는 바닥상태에서 소용돌이가 대체로 s×s의 초살창 구조를 이루고 있으므로 직접 되틀맞춤 방법으로 다룰 수 없다.

식 (8)에 해당하는 분배함수를 허바드-스트라토노비치 변환에 의해 다시 자유에너지 범함수로 나타내면 편리하며, 이웃에 대해 J, 이웃이 아니면 0으로 Jij를 정의하고 Jije－Aij≡kBTPij라 놓을 때


(10)

을 얻는다. 요동을 무시하면 자유에너지 범함수를 최소로 하는 짜임새가 분배함수에 기여하며, 고비온도 근방에서는 i의 크기가 작으므로 식 (10)을 최소화하는 방정식을 일차항까지 쓰면

(11)

가 되는데, 이는 i를 파동함수로 보면 자기마당에서 전기량 2e인 꽉묶음 알갱이를 기술하는 슈뢰딩거 방정식과 같으며, 또한 채움인자가 f인 전하밀도파도 기술한다. 네모 배열 (square array)의 경우에 낟알의 위치를 i≡(m, l)로 표시하고 란다우 게이지 에서 으로 쓰면 하퍼 방정식 (Harper's equation)

(12)

을 얻으며 등방 결합의 경우 V＝2, 에너지 고유값은 ≡ 2kBT/J에 해당한다. 쩔쩔맴 f에 따른 이 방정식의 에너지 스펙트럼 및 고유상태는 많이 연구되었으며 f＝p/s이면 블로흐 정리가 성립하여 알갱이는 펼쳐진 상태와 s 개의 에너지 띠를 가지는데, 이는 초전도 배열에서 위상결맞은 상태에 해당한다. 한편 f가 무리수이면 V의 값에 따라 펼쳐진 상태나 한곳 상태를 가지며, 특히 V＝2이면 고비상태 및 특이 연속 스펙트럼을 가짐이 알려져 있다.

요동을 고려하면 가장 간단한 f＝1/2의 경우에 계는 연속 대칭성 외에 두 겹으로 겹쳐진 바닥상태를 가져서 BKT 전이와 이러한 Z2 대칭성에 결부된 이징 형태의 전이를 보임이 수치시늉 및 되틀맞춤 방법으로 알려져 있으나 그 정확한 보편성 부류에 대해서는 아직 논란이 있다. 대칭성이 f의 값에 불연속적으로 변하므로, 열역학적 극한에서 계의 상전이 성질도 자기마당의 세기에 특이하게 의존할 것으로 예상되며, f가 무리수인 경우에는 미묘한 유한크기 효과와 함께 Tc＝0인 유리전이를 보임이 제안되었다. 특히 Aij가 마구잡이로 분포하는 값들을 가지는 게이지유리 (gauge glass)는 고온 초전도체와 관련한 소용돌이유리(vortex glass)의 모형으로 관심을 끌었는데 이차원의 경우 유한한 온도에서 준긴버렁 유리질서를 지닌 독특한 상태로 전이함이 논의되었다.

홑아닌 연결 (non-simply connected) 구조를 가진 초전도 배열은 전자계와 마찬가지로 아로노프-보옴 효과에 의해 지속전류를 지닌다. 일차원의 조셉슨 목걸이나 이차원의 원기둥 표면 또는 엽전 꼴의 배열에서 자기다발 ≡ 0가 중심을 꿰는 경우에 지속전류, 곧 둘레 방향의 초전류는

(13)

로 주어지며, 식 (8) 또는 (12)에서 바닥상태의 에너지 E를 얻어서 지속전류를 구할 수 있다. 일반적으로 계의 다른 성질과 마찬가지로 지속전류는 자기다발에 대해 0의 주기성, 곧 ＝1의 주기를 보이는데, 쩔쩔매는 이차원 계에서는 둘레의 자리 수에 따라 분수 주기를 보일 수 있다.

초전도 배열의 저항, 잡음, 전류-전압 특성 등의 동역학적 성질은 실험과의 연관성으로 특히 중요하다. 이론적으로는 저항갈래 조셉슨접합 모형 (resistively shunted Josephson junction model; RSJ model) 및 시간에 의존하는 란다우-긴즈버그 모형 (time-dependent Landau-Ginzburg model)이 주로 연구되었다. RSJ 모형은 낟알 i에서 나가는 조셉슨 전류와 갈래저항 R을 통한 보통 전류, 열요동에 의한 잡음전류 Lij의 합이 외부전류 Ii와 같다는 전류의 보존 관계 및 낟알 i, j 사이의 전압 Vij와 위상 변화율에 관한 조셉슨 관계 d( i－ j)/dt＝2eVij/ħ에 의해 다음과 같은 랑제방 방정식 꼴로 주어진다.


(14)

여기서 Gij는 로 정의되는 살창그린함수이며 잡음전류는

(15)

를 만족한다. 이러한 랑제방 방정식을 포커-플랑크 방정식으로 변환하고 정상상태를 조사해서 직류 외부전류를 흘릴 경우에 상전이와 전압의 일률스펙트럼 등을 조사하였고, 특히 BKT 전이의 특징으로 전류-전압 관계 (I ~ Vα)의 지수 값이 1에서 3으로의 보편 뛰기가 확인되었다. 절대영도에서 N×N 네모 배열을 떨기수 의 교류로 모는 경우에는 평균 (직류) 전압이 〈V〉＝(n/s)N(ħ /2e)로 양자화하여 전류-전압 특성에 이른바 정수 및 분수 장다리 샤피로 계단이 나타나며, 그 위상수학적 불변성이 제안되었는데, 이러한 위상수학적 양자화는 초흐름에서의 소용돌이 양자화와 양자 홀 효과에서도 매우 중요한 현상이다. 특히 쩔쩔매는 계의 전류-전압 특성은 악마의 계단 구조를 가짐도 확인되었다. 또한 홑아닌 연결 구조의 배열에서는 중심을 교류 자기다발로 꿰어 모는 경우에는 유한한 평균 (직류) 전류를 주는 자기다발의 위상수학적 양자화인 장다리 샤피로 껴울림이 나타날 수 있다. 유한한 온도에서는 초전도 배열을 교류 전류나 주기적인 자기마당으로 적절하게 모는 경우에는 다양한 응답을 보이며, 잡음과의 미묘한 관계에 의해 확률껴울림이 나타날 수 있음이 제안되었다.

양자 배열

초미세제조기법으로 만들어진 매우 작은 초전도 낟알의 배열에서는 전기들이가 10－15 F 이하로 충분히 작으므로 조셉슨에너지에 비해 충전에너지가 무시할 수 없을 만큼 크다. 낟알 i에서 쿠퍼 짝의 개수를 ni라 하면 그 전기량은 2eni가 되는데, 이에 더해서 대문 전압 등에 의해 외부 (게이지) 전하 Qi ≡ －2eqi를 꾀면 계의 전기들이 행렬을 Cij라 할 때 충전에너지는

(16)

로 주어지며, 이에 따라 식 (8)로 기술되는 쿠퍼 짝의 꿰뚫기에 쿨롱 가로막이 효과가 나타날 수 있다. 식 (8)과 식 (16)을 더해서 계의 해밀토니안을 게이지 전하가 균일한 경우에 대해 간단하게 쓰면

(17)

로 주어진다. 각 낟알에서 결맞음을 전제하여 쿠퍼 짝의 개수와 위상 사이에 바른틀 양자화 관계 [ni, j]＝－i ij를 주면 이른바 슈뢰딩거의 고양이로 널리 알려진 크게보기 양자현상을 보이는 대표적인 경우가 된다.

식 (11)에서 보았듯이 조셉슨에너지는 전하, 곧 보오존인 쿠퍼 짝의 깡충뛰기 에너지로 볼 수 있고 충전에너지는 쿨롱 서로작용을 나타내므로 둘째 양자화로 표현하면 식 (17)은

(18)

로 기술되는 보오즈-허바드 모형에서 평균개수 〈ni〉가 큰 극한에 해당한다. 여기서 tij와 Uij는 각각 Jij와 C－i1j에 대응하며, 화학퍼텐셜 및 자리퍼텐셜 vi는 게이지전하 qi에 대응한다. 마찬가지로 식 (17)을 양자 스핀 모형

(19)

로 바꾸어 표현할 수도 있고 적절한 극한에서 운동에너지 및 사슬 사이 결합을 고려한 전하밀도파 계와도 관련지을 수 있다.

이러한 계에서는 열요동 뿐 아니라 양자요동도 중요한 역할을 하며 자기마당에 의한 쩔쩔맴 f에 더해서 게이지전하에 의한 쩔쩔맴 q에 의한 효과가 생겨서, 이에 따라 초전도 상태와 절연 상태 또는 금속 상태 사이에 흥미로운 열역학적 및 양자역학적 상전이 및 동역학적 성질이 나타난다. 절대영도에서는 대체로 충전에너지가 매우 작으면 조셉슨에너지에 의해 위상의 정돈이 생겨서 초전도 상태가 되지만 충전에너지가 충분히 커지면 개수, 곧 전하의 정돈이 일어나고 이는 모트 (Mott) 절연체에 해당한다. 따라서 두 에너지의 비에 따라 초전도체-절연체 전이가 일어나며, 이는 양자요동에 의한 양자상전이이다. 유한한 온도에서는 열요동에 의해 계의 차원 및 전기들이 행렬에 따라 다양한 상전이를 보이며, 또한 갈래저항이나 유사알갱이 꿰뚫기에 의한 흩어지기 효과도 나타난다.

전기들이에는 대체로 낟알과 기판 사이의 스스로 들이 (self-capacitance) C0와 이웃 낟알 사이의 접합들이 (junction capacitance) C1이 중요해서

(20)

으로 주어진다. 여기서 j'은 j의 이웃을 나타내며 는 그러한 이웃의 수이다. 간단한 경우로 C1＝0인 스스로 충전 (self-charging) 경우에 C－i1j＝C－01 ij로 주어져서 ni를 운동량에 대응하면 HC는 운동에너지 꼴을 지니며, 이차원에서 반대로 C0＝0인 이웃 충전 (nearest-neighbor charging) 극한에서는 C－i1j＝C－11 Gij가 되므로 식 (16)은 식 (9)와 같아진다. 따라서 스핀파동을 무시하면 충전에너지와 조셉슨에너지를 같은 꼴로 쓸 수 있고, 이는 계의 이중성을 의미한다. 일반적으로는 고쳐진 벳셀 함수 (modified Bessel function)로 C－i1j＝(2 C1)－1K0(r/ )와 같이 되어서 가리기 길이가 로 주어진다.

스스로 충전 경우에는 분배함수를 길 적분으로 나타내면 q＝0일 때 충전에너지를 허수시간축 방향으로의 조셉슨에너지 꼴로 쓸 수 있다. 허수시간 는 거꿀온도 ≡1/(kBT)에 해당하므로 절대영도에서는 차원이 하나 늘어난 것으로 해석할 수 있으며, EC≡4e2/C0라 쓸 때 유효 해밀토니안은

(21)

으로 쓰여진다. 여기서 차원이 늘어난 살창점을 r≡(i, )로 나타내었고, 유효 결합상수는 로 주어지므로 를 양자요동을 조절하는 유효온도로 여길 수 있다. 따라서 절대영도에서 일차원 (양자) 배열은 이차원 XY 모형으로 기술되는 고전적 배열로 나타낼 수 있어서 q＝0인 경우에 EC/EJ ≈0.8에서 초전도체와 절연체 사이에 BKT 전이를 보인다. 마찬가지로 이차원 배열은 f＝q＝0인 경우 절대영도에서 삼차원 XY 모형으로 기술되므로 초전도-절연 상태 사이의 양자 상전이는 헬륨의 초흐름 상전이와 같고, 유한한 온도에서는 열요동에 의해 금속인 보통 상태와 초전도 상태 사이의 전이가 일어난다. 이 경우에 양자요동에 의한 결합의 되틀맞춤에 의해 고비온도가 낮아지는데 되들어감의 존재 여부는 가능한 전하 상태 및 양자요동을 억제하는 흩어지기 효과와 더불어서 아직도 완전히 해결되지 않고 있다. 일차원 배열의 상전이에 미치는 전하 쩔쩔맴 q≠0의 효과는 평균마당 어림과 건드림 방법, 그리고 최근에 되틀맞춤 방법으로 연구되었다.

이차원 배열의 이웃 충전 극한에서는 쿠퍼 짝으로 나타낸 해밀토니안 (EC≡4e2/C1)

(22)

을 스핀파동을 무시하고 이중성 변환하면 쿠퍼 짝 대신에 이중성 대응 살창에서 소용돌이의 해밀토니안

(23)

을 얻는데, 소용돌이의 개수 ni와 위상 는 역시 켤레로 여길 수 있으며 를 만족한다. 식 (22)와 (23)에서 EC⇔4 2EJ의 대응과 함께 쿠퍼 짝과 소용돌이 사이의 이중성이 명백하다. 절대영도에서 EC ≪EJ이면 소용돌이가 알갱이로서 잘 정의되며 식 (23)에서 소용돌이는 살창을 형성하므로 계는 초전도 상태가 된다. 반대로 E C≫EJ이면 쿠퍼 짝이 잘 정의되고, 식 (22)에 의해 전하 살창, 곧 위그너 결정을 이루어서 절연 상태를 준다. 따라서 EC와 EJ가 비슷한 크기에서 초전도-절연 전이를 기대할 수 있으며 그 전이점은 f＝q일 때 스핀파동을 무시하면 스스로 이중점인 EC＝4 2EJ로 주어진다. 특히 EC와 EJ가 비슷하면 쿠퍼 짝 또는 소용돌이에 충분한 운동에너지를 주어서 살창을 녹이고, 강하게 서로작용하는 양자흐름체를 형성할 수 있다. 여기서 소용돌이는 베리 위상을 계산해 보면 쿠퍼 짝과 마찬가지로 보오존임을 알 수 있으나, 딱딱핵을 지니고 있으므로 조르단-위그너 변환 (Jordan-Wigner transformation)을 통해 적당한 게이지 마당에서의 페르미온으로 바꿀 수 있고, 이에 따라 f 및 q에 따라 양자 홀 효과의 가능성이 제기되었다.

높은 온도에서는 자유로운 전하 (쿠퍼 짝)나 소용돌이에 의해 보통 (금속) 상태에 있게 된다. 따라서 EC와 EJ의 비에 따라 적당한 온도에서 소용돌이 짝이 풀어지는 초전도체-금속 전이 또는 전하 짝이 풀어지는 금속-절연체 전이가 예상되며, 간단히 f＝q＝0인 경우는 양자 몬테칼로 시늉이나 건드림 전개, 변분 되틀맞춤 등과 실험으로도 확인되었다. 보다 일반적인 f, q 및 Cij의 경우와 흩어지기가 있으면 매우 복잡한 구조의 상 경계를 가짐이 부분적으로 조사되었는데, 특히 적당한 영역에서 대각과 엇대각 질서를 모두 지닌 초고체 (supersolid)의 가능성이 제기되었다.

적당한 영역에서 전하와 대비하여 소용돌이 동역학은 여러 흥미로운 가능성을 제기하며, 마구잡이 무질서가 있는 배열에서 소용돌이의 한곳되기 현상과 벡터퍼텐셜처럼 작용하는 게이지전하에 의한 양자 간섭 현상 등이 확인되었다. 홑아닌 연결 구조를 가진 초전도 배열을 자기다발로 중심을 꿰면 아로노프-보옴 효과에 의해 지속전류를 지님은 이미 고전적 계에서 지적하였다. 양자계에서는 식 (22)의 조셉슨에너지에서 전하(쿠퍼 짝)에 대한 자기다발의 역할을 식 (23)의 충전에너지에서 게이지전하가 자기다발을 품는 소용돌이에 대해 하므로 전하의 아로노프-보옴 효과에 대응한 소용돌이의 아로노프-캐셔 효과로도 생각할 수 있다. 전류를 주는 전하의 움직임과 달리 소용돌이는 전압을 주어서 식 (13)에 대응하는 표현은

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의 지속전압이다. 이러한 전압의 블로흐 진동은 q＝1의 주기를 지니지만 전하 쩔쩔맴에 따라 분수 양자 홀 효과의 위상수학적 해석과 비슷하게 겹주기를 보일 수도 있다. 또한 교류 전류에 의해 주기적인 게이지전하를 주면 쿠퍼 짝에 의한 장다리 샤피로 계단에 대응해서 소용돌이에 의해 평균전류의 위상수학적 양자화 〈I〉＝(n/s)N(eω/π)를 보이는 거꿀 장다리 샤피로 계단이 예측된다.

맺는 말

초전도 배열은 대각 및 엇대각 긴버렁 질서, 준긴버렁 질서, 베리 위상, 양자 홀 효과, 양자 요동과 흩어지기, 양자상전이, 방식 잠금과 확률 껴울림 등 매우 다양한 현상을 보인다. 최근에는 들뜸알과 껴꿰뚫기 (cotunneling) 및 보오즈-아인슈타인 서림의 가능성도 제기되었으며 길 적분, 이중성 변환, 되틀맞춤 무리, 베끼기 방법, 확률 방정식, 보오존 되기, 건드림 이론 및 변분 방법, 쏴비춤 기법, 베테 풀이 등 다양한 해석적 방법과 고전 및 양자 시늉내기 방법의 적용 대상이다. 따라서 양자결맞음의 이론 및 실험 연구에 편리한 대표적 계라 할 수 있으며, 특히 위상수학적 양자화, 분수 전하, 게이지 서로작용, 대칭성 깨짐 등이 뭇알갱이계의 협동현상에 의해 떠오르는 성질로서 나타남을 잘 보여준다.

참 고 문 헌

[1] H. A. Cerdeira, B. Kramer and G. Schon, Quantum Dynamics of Submicron Structures (Kluwer, Dordrecht, 1995); 최무영, 복잡한 낮은 차원계의 물리 (한울아카데미, 서울, 2000).

[2] C. Giovannella and M. Tinkham (eds.), Macroscopic Quantum Phenomena and Coherence in Superconducting Networks (World Scientific, Singapore, 1996); Physica B 222, 253 (1996).

최무영 교수는 미국 스텐포드 대학에서 통계물리 이론 연구로 이학박사 학위를 받았고 ,현재 서울대학교 물리학부 교수로 재직하고 있으며, 미국 브룩헤이븐 국림연구소,로스알라모스 국립연구소, 오하이오 주립대학,워싱턴 대학 등에서 객원 교수로 통계물리를 연구하였다.

( mychoi@snu.ac.kr)